Рівняння Ландау — Ліфшиця (магнетизм)

Рівня́ння Ланда́у — Лі́фшиця — рівняння, що описує рух намагніченості в наближенні континуальної моделі у твердих тілах. Вперше введене Л. Д. Ландау та Є. М. Ліфшицем у 1935 році.

Формулювання

Для бездисипативного середовища та за відсутності спін-поляризованого струму рівняння Ландау-Ліфшиця зазвичай записується у вигляді

где  — щільність магнітного моменту (намагніченість),  — деяка феноменологічна стала,  — так зване ефективне магнітне поле.

Рівняння в основному використовується для феро- та феримагнетиків. У загальному випадку стала не дорівнює гіромагнітному співвідношенню і в рамках феноменологічної теорії має розглядатись як величина, що визначається з експерименту. Їхня відмінність зумовлена вкладом орбітальних моментів. Тому за умови, що магнітні іони знаходяться в -стані (тобто орбітальні моменти відсутні), можна вважати, що дорівнює гіромагнітному відношенню з високим степенем точності.[1]. Це виконується для CdCr2Se4, залізо-ітрієвого гранату Y3Fe5O12, пермалою Fe20+xNi80-x та більшості інших феро- та феримагнітних матеріалів.

Ефективне магнітне поле визначається як варіаційна похідна вільної енергії за магнітним моментом[2]

У випадку, коли розглядається магнетик далеко від температури Кюрі або за нульової температури, то вільна енергія дорівнює внутрішній .

В формулюванні (1) зберігається довжина вектора намагніченості. Це легко показати, домноживши обидві частини (1) скалярно на , що дасть

Цей факт дає підставу казати про прецесію намагніченості.

Строге виведення рівняння руху намагніченості в континуальному наближенні неможливий[3], тому часто постулюється можливість формального переходу від рівняння руху оператора спіну

до рівняння (1) шляхом заміни і розкладу поля намагніченості поблизу точки в ряд Тейлора[4]. Тут  комутатор,  гамільтоніан,  — оператор спіну для n-го вузла ґратки, а  — його радіус-вектор,  стала ґратки,  магнетон Бора.

Модифікації

Врахування дисипації, впливу температури чи спін-поляризованих струмів потребує модифікації вихідного рівняння (1), яка зазвичай зводиться до появи додаткових доданків в правій частині (1). Релаксаційні члени можуть мати різну розмірність і різну кількість параметрів. Але для наближеного опису процесів в феромагнетиках за невеликої дисипації може використовуватись рівняння в будь-якій з наведених нижче форм [5]. Кожне з них можна перетворити з одного в інше.

Релаксаційний член в формі Ландау — Ліфшиця

Ландау та Ліфшиць запропонували[6] наступну модифікацію:

де  — парметри дисипації. Інколи за параметр дисипації приймають величину .

Рівняння Ландау — Ліфшиця — Гільберта

Часто використовується релаксаційний член в формі Гільберта:

де  — параметр дисипації. Формальний перехід між рівняннями (5) та (6) можна здійснити заміною

В зв'язку з від'ємним значенням гіромагнітного відношення зустрічаються визначення параметрів релаксації з протилежними знаками в (5) та (6) [7].

Рівняння Блоха — Бломергена

Прикладом рівняння з дисипацією, що допускає зміну довжини вектора намагніченості, може слугувати модифіковане рівняння Блоха чи рівняння Блоха Бломергена:

де  — так звана статистична сприйнятливість, що визначається як відношення намагніченості насичення до абсолютної величини ефективного поля, а  — частота релаксації.

Вплив спін-поляризованого струму

Спін-поляризований струм зазвичай описують додатковим доданком в правій частині (1) вигляду . Один з підходів до його конкретизації[8] полягає в розкладі вектора за осями, направленими вздовж , та . Тут  — одиничний вектор вздовж намагніченості опорного шару. В припущенні, що довжина вектора намагніченості не змінюється, перша проекція буде дорівнювати нулю, а дві інші

де коефіцієнти та пропорційні густині струму, залежать від параметрів структури, що поляризує, та кута між и .

Інші форми запису

Для аналітичного аналізу частіше за все рівняння Ландау-Ліфшиця записується в кутових змінних сферичної системи координат та . В такому випадку вектор намагніченості можна представити як

де  — намагніченість насичення. Щоб перейти в (1) до кутових змінних, домножимо рівняння на варіацію намагніченості , виразивши в кутових змінних проекцію лівої частини на вісь аплікат. Далі, після запису варіації енергії та намагніченості через варіації кутів, отримаємо

Отримання рівнянь в кутових змінних, що містять додаткові члени, відбувається аналогічно. Так, для запису в формі Ландау — Ліфшиця — Гільберта маємо

Примітки

  1. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 17.
  2. Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
  3. Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
  4. В цьому випадку зазвичай обмежуються членами другого порядку малості, оскільки в випадку, коли кожен вузол ґратки є її центром симетрії, доданок, що містить першу похідну за координатою, перетворюється в нуль.
  5. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 27.
  6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128
  7. Hubert, Alex; Rudolf Schäfer (1998). Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. Springer. с. 557. ISBN 3540641084. на стр. 151.
  8. Звездин А. К., и др. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнітних наноструктурах. [УФН, 178, с. 436–442 (2008)

Література

  • Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
  • Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
  • Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
  • Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436—442, (2008) http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
  • Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
  • Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. http://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
  • Hubert, Alex; Rudolf Schäfer (1998). Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. Springer. с. 557. ISBN 3540641084.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.