Функція Гамільтона

Функція Гамільтона (або Гамільтоніан) ${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)\,}$ визначається через узагальнені координати ${\displaystyle q_{i}\,}$ і узагальнені імпульси ${\displaystyle p_{i}\,}$ виходячи з функції Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,}$ наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Функція Гамільтона визначається згідно з

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\mathcal {L}}}$. Фактично, це є перетворення Лежандра лагранжіана.

Після цього всі узагальнені швидкості ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ d ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\,}$,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.