Картина Гейзенберга

Якщо ввести унітарний оператор еволюції ${\displaystyle {\hat {U}}(t,0)}$, що діє за правилом:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,0)|\psi (0)\rangle ,}$

то можна записати середнє значення деякого оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$ в стані ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ таким чином:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle =\langle \psi (0)|{\hat {U}}^{\dagger }(t,0){\hat {A}}{\hat {U}}(t,0)|\psi (0)\rangle \equiv \langle \psi (0)|{\hat {A}}_{H}(t)|\psi (0)\rangle .}$

Таким чином, залежність від часу переноситься з хвильової функції на оператор:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t,0){\hat {A}}{\hat {U}}(t,0)}$

Якщо записати рівняння Шредінгера:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \left|\psi (t)\right\rangle }{\partial t}}={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

і вважати, що гамільтоніан ${\displaystyle {\hat {H}}}$ не залежить від часу, то оператор еволюції має такий вигляд:

${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}.}$

Далі, якщо взяти повну похідну від оператора ${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)}$ за часом, то:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}e^{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}-{\frac {i}{\hbar }}e^{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}{\hat {H}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}{\hat {A}}_{H}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {A}}_{H}(t){\hat {H}}.}$

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+[{\hat {A}}_{H}(t),{\hat {H}}].}$

Якщо оператор ${\displaystyle {\hat {A}}_{H}}$ явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}}{dt}}=[{\hat {A}}_{H},{\hat {H}}],}$

звідки можна зробити такий висновок: якщо оператор фізичної величини, який явно не залежить від часу, комутує з гамільтоніаном ${\displaystyle {\hat {H}}}$, то відповідна фізична величина зберігається.

• Картина Шредінгера
• Картина взаємодії

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.