Таблиця похідних

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференціальному численні. У цій статті наведено загальні правила диференціювання та список похідних основних функцій.

У нижчеподаних формулах $x$ — змінна, $f$ — функція цієї змінної. $u$ і $v$ — довільні функції, що диференціюються, а $c$ — константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Загальні правила

Константа

\left({c\cdot f}\right)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }

, де

c={\text{const}}\,

Сума і різниця похідних

\left({u+v}\right)'=u'+v'

\left({u-v}\right)'=u'-v'

Похідна від добутку і частки

\left({u\cdot v}\right)'={u'v+uv'}

\left({u \over v}\right)'={{u'v-uv'} \over {v^{2}}}\,,\qquad v\neq 0

Похідна від складної функції

{\Big (}{u{\big (}v(x){\big )}}{\Big )}'={u_{v}'(v)\cdot v_{x}'(x)}

Похідна від оберненої функції

(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}

Список

Похідні від простих функцій

\left(c\right)'=0

\left(x\right)'=1

\left(cx\right)'=c

|x|'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0

\left(x^{c}\right)'=cx^{c-1}

, де

\left(x^{c}\right)

та

\left(x^{c-1}\right)

— визначені

Зокрема:

\left({1 \over x^{c}}\right)'={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}

\left({1 \over x}\right)'={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-{1 \over x^{2}}

\left({\sqrt {x}}\right)'={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0

Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$	$\left(\ln x\right)'={1 \over x}$
$\left(a^{x}\right)'={a^{x}\ln a},\quad a>0$	$\left(\log _{a}x\right)'={1 \over x\ln a},\quad a>0,a\neq 1$
$\left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}$

Похідні від тригонометричних функцій

Прямих	Обернених
$\left(\sin x\right)'=\cos x$	$\left(\operatorname {arcsin} x\right)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(\cos x\right)'=-\sin x$	$\left(\operatorname {arccos} x\right)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(\operatorname {tg} x\right)'={1 \over \cos ^{2}x}$	$\left(\operatorname {arctg} x\right)'={1 \over 1+x^{2}}$
$\left(\sec x\right)'={\sin x \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} x\sec x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={1 \over \|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\left(\operatorname {ctg} x\right)'={-1 \over \sin ^{2}x}$	$\left(\operatorname {arcctg} x\right)'={-1 \over 1+x^{2}}$
$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-{\cos x \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'={-1 \over \|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Похідні від гіперболічних функцій

Прямих	Обернених
$\left(\operatorname {sh} x\right)'=\operatorname {ch} x$	$\left(\operatorname {arsh} x\right)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$\left(\operatorname {ch} x\right)'=\operatorname {sh} x$	$\left(\operatorname {arch} x\right)'={-1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\left(\operatorname {th} x\right)'=\operatorname {sch} ^{2}x$	$\left(\operatorname {arth} x\right)'={1 \over 1-x^{2}}$
$\left(\operatorname {sech} x\right)'=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} x$	$\left(\operatorname {arsech} x\right)'={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(\operatorname {cth} x\right)'=-\operatorname {csch} ^{2}x$	$\left(\operatorname {arcth} x\right)'={1 \over 1-x^{2}}$
$\left(\operatorname {csch} x\right)'=-\operatorname {cth} x\,\operatorname {csch} x$	$\left(\operatorname {arcsch} x\right)'={-1 \over \|x\|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Див. також

Таблиця інтегралів.

Джерела

Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — 228 с. (рос.)
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — 13-е изд., исправленное. — М. : Наука, 1986. — 544 с. (рос.)

Посилання

Основні правила та формули диференціювання // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 240-242. — 594 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.