Теорема про суму кутів трикутника

Теорема про суму кутів трикутника стверджує, що у евклідовому просторі сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Сума кутів трикутника

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },

або розгорнутому куту.

Еквівалентні формулювання такі. Сума кутів трикутника дорівнює $π$ радіан, розгорнутому куту, двом прямим кутам, або пів-оберту.

Довгий час було не відомо, чи буде в інших геометріях сума кутів відмінною. Пошук відповіді на це питання суттєво вплинув на математику у 19 столітті. Врешті-решт, було отримано позитивну відповідь: в інших просторах (геометріях) сума кутів трикутника може бути більше або менше, і сума кутів залежить від вибраного трикутника. Відмінність суми від 180° називається дефектом трикутника і використовується як характеристика геометрії простору.

Сума кутів у евклідовій геометрії

Для плаского многокутника в евклідовій площині сума кутів обчислюється за формулою

(n\cdot 180^{\circ })-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ },

де $n$ — кількість сторін багатокутника.

Приклади

Обчислимо суми кутів три-, чотири-, та п'ятикутника:

для трикутника ( $n=3$ ): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(3-2)\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }$
для чотирикутника ( $n=4$ ): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$
для п'ятикутника ( $n=5$ ): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Еквівалентні твердження

У евклідовій геометрії постулат про трикутник стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Це твердження еквівалентне постулату про паралельні прямі.[1] За умови, що виконуються аксіоми евклідової геометрії, наступні твердження є еквівалентними:[2]

Постулат про трикутник: Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.
Аксіома Плейфайєра: Через точку, що не лежить на заданій прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.
Аксіома Прокла: Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних ліній, то вона повинна перетинати й іншу.[3]
Постулат рівновіддаленості: Паралельні прямі рівновіддалені (тобто, відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої одна й та ж сама).
Властивість площі трикутника: Площа трикутника може бути скільки завгодно великою.
Властивість трьох точок: Будь-які три точки лежать або на прямій або на колі.
Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.[1]

Див. також

Примітки

Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (вид. 2nd). с. 2147. ISBN 1-58488-347-2. «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.»
Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. с. 161. ISBN 0-8050-7254-3.
Фактично, є твердженням, що відношення паралельності прямих є транзитивним відношенням.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Parallel-1] Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (вид. 2nd). с. 2147. ISBN 1-58488-347-2. «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.»

[Devlin-2] Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. с. 161. ISBN 0-8050-7254-3.

[3] Фактично, є твердженням, що відношення паралельності прямих є транзитивним відношенням.