Тотожність Бохнера

Тотожність Бохнера — загальна назва сімейства тотожностей у рімановій геометрії, що пов'язують лапласіани різних типів і кривину. Тотожності, одержувані інтегруванням тотожності Бохнера, іноді називають тотожностями Рейлі.

Формулювання

Нехай $S$ — розшарування Дірака над рімановим многовидом $M$ , $D$ — відповідний оператор Дірака, і тоді

D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )

для будь-якого перерізу $\phi \colon M\to S$ .

Позначення

Далі $e_{i}$ позначає ортонормований репер у точці.

$\nabla$ позначає зв'язність на $S$ , і
$\nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,$

так званий лапласіан за зв'язністю.

${\mathfrak {R}}$ — переріз $\mathrm {Hom} (S,S)$ , що визначається як
${\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,$

де «

.

» позначає множення Кліфорда, і

R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}

— перетворення кривини.

$D$ — оператор Дірака на $S$ , тобто
$D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .$

і

D^{2}\phi =\Delta \phi

лапласіан Ходжа на диференціальних формах

Наслідки

З тотожності Бохнера для градієнта функції $u$ отримуємо таку інтегральну формулу для будь-якого замкнутого многовиду
$\int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

де

\mathrm {Hess} \,u

позначає гесіан

u

.

Якщо $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ — гармонічна функція, то
$\Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

де

\nabla u

позначає градієнт

u

. Зокрема:

Компактні многовиди з додатною кривиною Річчі не допускають ненульових гармонічних функцій.
Якщо $u$ — гармонічна функція на многовиді з додатною кривиною Річчі, то функція $|\nabla u|$ субгармонічна.

З формули Бохнера випливає, що на компактних многовидах з додатним оператором кривини відсутні гармонічні форми будь-якого степеня, тобто воно є раціонально гомологічною сферою.
- Іншим методом, а саме потоком Річчі, вдалося довести що будь-який з таких многовидів дифеоморфний фактору сфери за скінченною групою.[1]

Примітки

B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3 (3 November). — P. 1079–1097.

Література

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3 (3 November). — P. 1079–1097.