Потік Річчі

Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді.

Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.

Візуалізація потоку Річчі на двовимірній поверхні обертання.

Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро.

Рівняння

Рівняння потоку Річчі має вигляд:

де позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному многовиді (залежить від дійсного параметра ), і  — її тензор Річчі.

Властивості

  • Формально кажучи, система рівнянь , що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь , запропонована Детурком, така, що якщо ріманова метрика на компактному многовиді і ,  — розв'язок систем і , то ізометричне для всіх .
    • Ця конструкція суттєво спростила доведення існування розв'язку, вона називається «трюком Детурка».
  • Аналогічно рівнянню теплопровідності (та іншим параболічним рівнянням, задавши довільні початкові умови , можна отримати розв'язок лише в один бік , а саме .
  • На відміну від розв'язків рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при . Розв'язок продовжується на максимальний інтервал . У разі якщо скінченне, за наближення до кривина многовиду прямує до нескінченності, і в розв'язку формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, й ґрунтується доведення гіпотези Терстона.
  • Псевдолокальність — якщо деякий окіл точки в початковий момент виглядає майже як ділянка евклідового простору, то ця властивість збережеться певний час у потоці Річчі в меншому околі.

Зміна геометричних характеристик

  • Для об'єму метрики істинне співвідношення
  • Для скалярної кривини метрики істинне співвідношення
де визначається як для ортонормованого репера в точці.
  • Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини.
  • Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.
  • Для кожного -ортонормованого репера в точці існує так званий супутній -ортонормований репер . Для тензора кривини , записаного в цьому базисі, істинне співвідношення
де  — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них.
  • Білінійна квадратична форма визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини приписується інший тензор кривини . Розв'язки ЗДР
відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі.
  • Опуклі множини в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР , то за , називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому , то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.
  • До інваріантних множин належать:

Розмірність 3

У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного і можна підібрати репер , в якому діагоналізується в базисі , , , скажімо,

Тоді

Історія

Початок дослідженню потоку Річчі поклав Гамільтон на початку 1980-х. За допомогою потоків Річчі доведено декілька гладких теорем про сферу.

Використовуючи потоки Річчі в своїх статтях[1], опублікованих протягом 20022003 років, Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних многовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре.[2]

Примітки

  1. Див. статті Григорія Перельмана в списку літератури.
  2. http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman's arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».

Література

  • Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
  • Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
  • Perelman, Grisha (November 11, 2002). «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications». arXiv:math.DG/0211159 [math.DG].
  • Perelman, Grisha (March 10, 2003). «Ricci flow with surgery on three-manifolds». arXiv:math.DG/0303109 [math.DG].
  • Perelman, Grisha (July 17, 2003). «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds». arXiv:math.DG/0307245 [math.DG].
  • Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
  • J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
  • Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc, 2006.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.