Потік Річчі

• Для об'єму ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ істинне співвідношення

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).}$

• Для скалярної кривини ${\displaystyle \mathrm {R} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ істинне співвідношення

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$

де ${\displaystyle |\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$ визначається як ${\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}}$ для ортонормованого репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в точці.

• Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини.
• Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.

• Для кожного ${\displaystyle g_{0}}$-ортонормованого репера ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ в точці ${\displaystyle x\in M}$ існує так званий супутній ${\displaystyle g_{t}}$-ортонормований репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$. Для тензора кривини ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$, записаного в цьому базисі, істинне співвідношення

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),}$

де ${\displaystyle Q}$ — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них.

• Білінійна квадратична форма ${\displaystyle Q}$ визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини ${\displaystyle x}$ приписується інший тензор кривини ${\displaystyle v_{x}=Q(x,x)}$. Розв'язки ЗДР

${\displaystyle {\dot {x}}=v_{x}}$

відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі.

• Опуклі множини ${\displaystyle K}$ в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР ${\displaystyle x(0)\in K}$, то ${\displaystyle x(t)\in K}$ за ${\displaystyle t\geq 0}$, називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому ${\displaystyle K}$, то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.

• До інваріантних множин належать:

• тензори кривини з додатною скалярною кривиною
• тензори кривини з додатним оператором кривини
• у тривимірному випадку, тензори кривини з додатною кривиною Річчі

У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$ можна підібрати репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$, в якому ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$ діагоналізується в базисі ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}$, ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$, ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1}}$, скажімо,

${\displaystyle \mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.}$

Тоді

${\displaystyle Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.}$