Трикутник Герона

Всі прямокутні трикутники, сторони яких утворюють піфагорові трійки, є героновими, оскільки сторони їх за визначенням цілочислені, а площа теж цілочислена, оскільки є половиною твори множення, один з яких обов'язково має парну довжину.

Трикутник зі сторонами c, e і b + d, і висотою a.

В якості прикладу геронова трикутника, який не має прямого кута, можна навести рівнобедрений трикутник зі сторонами 5, 5 і 6, площа якого дорівнює 12. Цей трикутник виходить шляхом об'єднання двох прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5 уздовж сторони завдовжки 4. Цей підхід працює і в загальному випадку, як показано на малюнку справа. Береться піфагорова трійка (a, b, c), де c — найбільша сторона, потім інша трійка (a, d, e), в якій найбільшою стороною буде e, будуються трикутники за заданими довжинами сторін і об'єднуються вздовж сторони з довжиною a, одержуючи трикутник зі сторонами c, e і b + d і площею

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$ (половина добутку основи на висоту).

Якщо a парна, то площа буде цілим числом. Менш очевидний випадок, коли a непарна, але і в цьому випадку A залишається цілим, оскільки сторони b і d повинні бути парними числами, а отже, і b+d буде парним теж.

Деякі геронові трикутники неможливо отримати об'єднанням прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами методом, описаним вище. Так, наприклад, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 і площею 72 не можна отримати з двох піфагорових трикутників, оскільки жодна з його вершин не є цілим числом. Не можна також побудувати примітивний піфагорів трикутник з двох менших піфагорових трикутників[4]. Такі геронові трикутники називаються нерозкладними. Однак, якщо дозволити піфагорові трійки з раціональними значеннями, відмовившись від цілочисленості, то розбиття на два прямокутних трикутника з раціональними сторонами завжди існує[5], оскільки всі висоти геронова трикутника є раціональними числами (оскільки висота дорівнює подвоєній площі, діленій на основу, і обидва ці числа є цілими). Так, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 можна отримати з раціональних піфагорових трикутників зі сторонами 7/5, 24/5, 5 і 143/5, 24/5, 29. Зауважимо, що раціональні піфагорові трійки є просто версіями цілочисельних піфагорових трійок, поділених на ціле число.

Будь-який геронів трикутник має сторони, пропорційні значенням[6]

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

Півпериметр ${\displaystyle =s=(a+b+c)/2=mn(m+n)}$

Площа ${\displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

Радіус вписаного кола ${\displaystyle =k(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-a=n(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}}$

для цілих m, n і k, де

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$.

Коефіцієнт пропорційності в загальному випадку є раціональним числом ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, де ${\displaystyle q=\gcd {(a,b,c)}}$ приводить отриманий геронів трикутник до примітивного, а ${\displaystyle p}$ розтягує його до необхідних розмірів. Наприклад, взявши m = 36, n = 4 і k = 3, отримаємо трикутник зі сторонами a = 5220, b = 900 і c = 5400, який подібний геронову трикутнику 5, 29, 30, і коефіцієнт пропорційності має чисельник p = 1 і знаменник q = 180.

Оскільки площа правильного трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, ніякий рівносторонній трикутник не може бути героновим. Однак існує послідовність геронових трикутників, які «майже правильні», оскільки їх сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Кілька перших прикладів цих майже рівносторонніх трикутників перераховані в таблиці нижче (послідовність A003500 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Список примітивних цілочисельних геронових трикутників, відсортований по площі і, в разі рівності площ, по периметру. «Примітивний» означає, що найбільший загальний дільник трьох довжин сторін дорівнює 1.

Фігура називається порівняною, якщо площа дорівнює периметру. Є рівно п'ять порівнянних геронових трикутників — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17)[7][8]

Наступне значення для n можна знайти, помноживши попереднє на 4, а потім віднявши значення, яке йому передує (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, і т. д.). Таким чином,

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}}$,

де t означає номер рядка в таблиці. Ця послідовність є послідовністю Люка. Можна також отримати цю послідовність за формулою ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$ для всіх n. Якщо покласти A = площа, а y = радіус вписаного кола, то

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$,

де {n, y} є рішеннями рівняння n² − 12y² = 4. Невелика підстановка n = 2x дає відоме рівняння Пелля x² − 3y² = 1, рішення якого можна отримати з розкладання √3 в безперервний дріб[9]

Змінна n має вигляд ${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$, де k дорівнює 7, 97, 1351, 18817, .... Числа в цій послідовності мають властивість, що k послідовних цілих мають цілочисельне середньоквадратичне відхилення.[10]

• Прямокутний трикутник
• Трикутник

• John R. Carlson. Determination of Heronian Triangles // Fibonacci Quarterly. — 1970. — Т. 8 (5 грудня).
• R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publications, Inc., 1959. — 5 грудня. — С. 1914, Diophantine Analysis.
• Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. The Brahmagupta Triangles // College Math Journal. — 1998. — Т. 29, вип. 1 January (5 грудня). — DOI:10.2307/2687630.
• Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers,. — Dover Publications, 2005. — Т. Il: Diophantine Analysis. — ISBN 9780486442334.
• L. Markowitz. Area = Perimeter // The Mathematics Teacher. — 1981. — Т. 74, вип. 3 (5 грудня). — С. 222—3.
• William H. Richardson. Super-Heronian Triangles. — 2007. — 5 грудня.
• Wacław Sierpiński. Pythagorean Triangles. — Переиздание книги 1962 года. — Dover Publications, Inc, 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6.
• Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008. — 5 грудня.
• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. Heronian Triangles // Am. Math. Monthly. — 1929. — Т. 36, вип. 1 January (5 грудня). — С. 22—28.
• S. sh. Kozhegel'dinov. On fundamental Heronian triangles // Math. Notes. — 1994. — Т. 55, вип. 2 (5 грудня). — С. 151—6. — DOI:10.1007/BF02113294.