Умовний розподіл

Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ і ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — випадкові величини, такі, що випадковий вектор ${\displaystyle (X,y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей ${\displaystyle p_{X,y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ такий, що ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})>0}$. Тоді функція

${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,y}(x,y_{0}) \over p_{y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}}$,

де ${\displaystyle p_{Y}}$ - функція ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle Y}$, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови, що ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ - випадкові величини, такі що випадковий вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ таке, що ${\displaystyle f_{Y}(y_{0})>0}$, де ${\displaystyle f_{Y}}$ - щільність випадкової величини ${\displaystyle Y}$. Тоді функція

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}$

називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови, що ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Якщо ${\displaystyle A}$ - зліченна підмножина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

Якщо ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})}$ - борелівська підмножина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то припускаємо за визначенням

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})=0}$.

• Умовне математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови ${\displaystyle Y=y_{0}}$ виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\ p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

• Умовне математичне сподівання ${\displaystyle X}$ за умови випадкової величини ${\displaystyle Y}$ - це третя випадкова величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, що задається рівністю

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.

• Умовне математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle X}$ за умови ${\displaystyle Y=y_{0}}$ виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

• Умовне математичне сподівання ${\displaystyle X}$ за умови випадкової величини ${\displaystyle Y}$ - це третя випадкова величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, що задається рівністю

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.