Функція ймовірностей

Нехай ${\displaystyle \mathbb {P} }$ є ймовірнісною мірою на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тобто визначений ймовірнісний простір ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)}$, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ позначає борелівську ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Визначення 1. Ймовірнісна міра називається дискретною, якщо її носій ${\displaystyle \mathbb {P} }$ є не більш, ніж зліченним, тобто існує не більш, ніж зліченна підмножина ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ така, що ${\displaystyle \mathbb {P} (X)=1}$.

Визначення 2.Функція ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$, визначена в такий спосіб:

${\displaystyle p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X\end{matrix}}\right.}$

називається функцією ймовірності ${\displaystyle \mathbb {P} }$.

Визначення 3. Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — випадкова величина (випадковий вектор). Тоді вона індукує ймовірнісну міру ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, що називається розподілом. Випадкова величина називається дискретною, якщо її розподіл дискретний. Функція ймовірності ${\displaystyle p_{X}}$ випадкової величини ${\displaystyle X}$ має вид:

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)}$.

чи коротше

${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} }$,

де ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\subset {\mathbb {R} ^{n}}}$.