Фактор-модуль

Нехай дано (лівий) модуль ${\displaystyle M}$ над кільцем ${\displaystyle R}$ і його підмодуль ${\displaystyle N}$. На ${\displaystyle M}$ можна ввести відношення еквівалентності:

${\displaystyle m\sim n\;}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle m-n\in N}$

для будь-яких ${\displaystyle m,n\in M}$. Елементами множини ${\displaystyle M/N}$ є класи еквівалентності

${\displaystyle [m]=\{m+n\colon n\in N\}}$.

Сума двох класів еквівалентності у ${\displaystyle M/N}$ є класом еквівалентності еквівалентності суми представників двох класів; в схожий спосіб можна ввести множення на елементи ${\displaystyle R}$. Конкретно:

${\displaystyle [m]+[n]=[m+n]}$ i

${\displaystyle r[m]=[rm]}$

для будь-яких ${\displaystyle m,n\in M}$ і ${\displaystyle r\in R}$.

Таким чином ${\displaystyle M/N}$ отримує структуру модуля над ${\displaystyle R.}$ Цей модуль називається фактор-модулем модуля ${\displaystyle M}$ по підмодулю ${\displaystyle N}$.

• M/M є тривіальним модулем {0}.
• M/{0} є ізоморфним M.
• Нехай ${\displaystyle \mathbb {R} }$— кільце дійсних чисел i ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X]}$— кільце многочленів з дійсними коефіцієнтами, що, очевидно, є ${\displaystyle \mathbb {R} }$-модулем. Розглянемо підмодуль

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

модуля ${\displaystyle A,}$ тобто підмодуль всіх многочленів, що діляться на ${\displaystyle X^{2}+1}$. Відношення еквівалентності для цих модулів задається як:

${\displaystyle P(X)\sim Q(X)}$ якщо і тільки якщо залишки від ділення ${\displaystyle P(X)}$ і ${\displaystyle Q(X)}$ на ${\displaystyle X^{2}+1}$ є однаковими.

Зокрема у фактор-модулі ${\displaystyle A/B}$ многочлен ${\displaystyle X^{2}+1}$ переходить у той же клас, що і ${\displaystyle 0}$ i фактор-модуль можна розглядати як похідний від ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ при ототожненні ${\displaystyle X^{2}+1=0}$. Фактор-модуль ${\displaystyle A/B}$ є ізоморфним із дійсним векторним простором комплексних чисел.

• Фактор-модуль ${\displaystyle M/N}$ є гомоморфним образом модуля ${\displaystyle M}$ для гомоморфізма ядро якого є рівним ${\displaystyle N}$ і яке можна записати як

${\displaystyle \pi :M\longrightarrow M/N:m\mapsto m+N}$.

Відображення ${\displaystyle \pi }$ називається проекцією модуля ${\displaystyle M}$ на фактор-модуль ${\displaystyle M/N}$.

• Теореми про ізоморфізми: для двох підмодулів ${\displaystyle M,N}$ модуля ${\displaystyle Q}$:

  ${\displaystyle M/(M\cap N)\simeq (M+N)/N}$.

для підмодуля ${\displaystyle N\subseteq Q\subseteq P}$ виконується

${\displaystyle (P/N)/(Q/N)\simeq P/Q}$.

• Кожен гомоморфізм R-модулів ${\displaystyle f:M\rightarrow L}$ ядро якого містить N у єдиний спосіб розкладається через M/N, тобто існує єдиний гомоморфізм R-модулів ${\displaystyle {\tilde {f}}:M/N\to L}$ для якого ${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \pi =f}$.

Навпаки, нехай існує R-модуль P і сюр'єктивний гомоморфізм ${\displaystyle p:M\longrightarrow P.}$ Якщо для кожного гомоморфізма R-модулів ${\displaystyle f:M\rightarrow L}$ ядро якого містить N існує єдиний гомоморфізм ${\displaystyle {\tilde {f}}:P\to L}$ для якого ${\displaystyle {\tilde {f}}\circ p=f,}$ то ${\displaystyle M/N\simeq P}$. Таким чином дана властивість повністю характеризує фактор-модуль. Вона називається універсальною характеристикою модуля.

• Фактор-модулями скінченнопороджених модулів і модулів скінченної довжини є скінченнопороджені модулі і модулі скінченної довжини.
• Нехай ${\displaystyle M,P}$ — два модулі над комутативним кільцем ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle N\subset M,\;T\subset P}$ — їх підмодулі. Тоді для тензорного добутку виконується властивість ${\displaystyle M/N\otimes _{R}P/T\simeq (M\otimes _{R}P)/Q,}$ де ${\displaystyle Q}$ — підмодуль у ${\displaystyle M\otimes _{R}P}$ породжений елементами виду ${\displaystyle m\otimes t}$ і ${\displaystyle n\otimes p}$ для довільних ${\displaystyle m\in M,\,t\in T,\,n\in N,\,p\in P.}$
• Якщо ${\displaystyle S}$ — мультиплікативна множина у комутативному кільці ${\displaystyle R}$ то для локалізації ${\displaystyle S^{-1}(M/N)\simeq (S^{-1}M)/(S^{-1}N).}$
• Якщо ${\displaystyle B}$ є ${\displaystyle A}$-алгеброю (асоціативною з одиницею), то

  ${\displaystyle B\otimes _{A}(M/N)\simeq (B\otimes _{A}M)/U}$,

де ${\displaystyle U}$ є образом ${\displaystyle B\otimes _{A}N}$ у ${\displaystyle B\otimes _{A}M}$.

• Якщо ${\displaystyle I}$ є (двостороннім) ідеалом у ${\displaystyle A}$, то фактор-модуль ${\displaystyle A/I}$ є фактор-кільцем ${\displaystyle A/I}$.

• Dauns, John (1994). Modules and rings. Cambridge University Press. ISBN 9780521462587.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.