Формула Єнсена

Нехай ${\displaystyle f}$ є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$ з центром 0 і радіусом r і ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N}}$ нулі ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$, враховуючи їх кратність. Якщо ${\displaystyle f(0)}$ не є рівним нулю, то

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{N}\log \left({\frac {r}{|\alpha _{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .}$

Еквівалентно якщо ${\displaystyle n(r)}$ позначає кількість нулів функції ${\displaystyle f}$ строго менших за модулем ${\displaystyle r}$, то

${\displaystyle \log |f(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .}$

• Припустимо спершу, що функція ${\displaystyle f}$ не має нулів у ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$. У цьому випадку вона не має нулів у ${\displaystyle D(0,r+\varepsilon )}$ для деякого малого ${\displaystyle \varepsilon }$. Оскільки ${\displaystyle D(0,r+\varepsilon )}$ є однозв'язною і ${\displaystyle f}$ не є рівною нулю, то існує функція ${\displaystyle g}$, що є голоморфною в ${\displaystyle D(0,r+\varepsilon )}$, така що ${\displaystyle f=e^{g}}$. Тому функція ${\displaystyle \log(|f|)=\mathrm {Re} (g)}$, дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в ${\displaystyle D(0,r+\varepsilon )}$. Зокрема вона є гармонічною в ${\displaystyle D(0,r)}$ і неперервною в ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$. Згідно властивості середнього значення:${\displaystyle \log(|f(0)|)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta .}$Це завершує першу частину доведення.
• Припустимо що функція ${\displaystyle f}$ має нулі в ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$, пронумеровані в такий спосіб: :${\displaystyle |\alpha _{1}|\leq \ldots \leq |\alpha _{m}|<r,\quad |\alpha _{m+1}|=\ldots =|\alpha _{N}|=r.}$Позначимо${\displaystyle g(z)=f(z)\times \prod _{n=1}^{m}{\frac {r^{2}-{\overline {\alpha _{n}}}z}{r(\alpha _{n}-z)}}\times \prod _{n=m+1}^{N}{\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n}-z}}.}$Функція ${\displaystyle g}$ є голоморфною в ${\displaystyle D(0,r+\varepsilon )}$ і не рівною нулю в ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$. Згідно першої частини доведення: ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\log(|g(0)|)=\log(|f(0)|)+\sum _{n=1}^{N}\log \left(\left|{\frac {r}{\alpha _{n}}}\right|\right).}$ Тому для завершення доведення достатньо показати, що ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta }$. Оскільки ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta +\sum _{n=1}^{m}\int _{0}^{2\pi }\log(1)~\mathrm {d} \theta -\sum _{n=m+1}^{N}\int _{0}^{2\pi }\log \left(\left|1-e^{\mathrm {i} \theta }{\overline {\alpha _{n}}}/r\right|\right)~\mathrm {d} \theta }$ і, позначивши ${\displaystyle \alpha _{n}=re^{\mathrm {i} \theta _{n}}}$ отримуємо:${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log \left(\left|1-e^{\mathrm {i} \theta }{\overline {\alpha _{n}}}/r\right|\right)~\mathrm {d} \theta =\int _{-\theta _{n}}^{2\pi -\theta _{n}}\log(|1-e^{\mathrm {i} u}|)~\mathrm {d} u=\int _{0}^{2\pi }\log(|1-e^{\mathrm {i} v}|)~\mathrm {d} v=0}$тож${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log(|g(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\log(|f(re^{\mathrm {i} \theta })|)~\mathrm {d} \theta ,}$, що завершує доведення.

• Фундаментальна теорема алгебри

Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня ${\displaystyle k}$ має ${\displaystyle k}$ коренів, враховуючи кратність.

Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.

Нехай маємо многочлен ${\displaystyle P(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{k}X^{k}}$ де ${\displaystyle a_{k}}$ не дорівнює нулю. Припустимо також, що ${\displaystyle a_{0}}$ не дорівнює нулю. Відображення ${\displaystyle z\mapsto P(z)}$ є цілою функцією (тобто голоморфною в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ). Для великих за модулем комплексних чисел маємо ${\displaystyle P(z)\sim a_{k}z^{k}}$. Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |P(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta \sim k\log r.}$

Многочлен степеня ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі ${\displaystyle n(r)}$ для достатньо великих ${\displaystyle r}$ є константою, рівною кількості коренів многочлена ${\displaystyle n_{0}}$. Згідно з формулою Єнсена

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |P(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta =\log |P(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s=n_{0}\log r+{\text{Constante}}.}$

Після порівняння двох еквівалентностей ${\displaystyle n_{0}=k}$. Тобто многочлен ${\displaystyle P}$ має ${\displaystyle k}$ коренів, враховуючи кратність.

• Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z₀ і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z₀ не перевищує

${\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}$

Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.

• Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X.