Ізольована точка

Нехай дано топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, і підмножина ${\displaystyle A\subset X}$. Точка ${\displaystyle x\in A}$ називається ізольованою точкою множини ${\displaystyle A}$, якщо існує окіл ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ такий, що ${\displaystyle U\cap A=\{x\}.}$

Підмножина топологічного простору, всі точки якої є ізольованими, називається дискре́тною множино́ю. Простір, кожна точка якого є ізольованою, є дискретним.

• Довільна функція ${\displaystyle f:A\subset X\to Y}$, де ${\displaystyle Y}$ - множина з власною топологією, завжди неперервна в ізольованій точці ${\displaystyle x}$.

Нехай ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ — множина дійсних чисел із стандартною топологією.

• Якщо ${\displaystyle A={0}\cup [1,2]}$, то точка ${\displaystyle x=0}$ є ізольованою, а всі інші не є ізольованими.
• Якщо ${\displaystyle A={0}\cup \left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\equiv \left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots \right\},}$ то ${\displaystyle x=0}$ не є ізольованою точкою, а всі інші ними є.
• Множина натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ є дискретною.
• Множина раціональних чисел не має ізольованих точок. Зокрема, вона не є дискретною, хоч і є зліченною.
• Існують незвідні многочлени від двох змінних f(x,y), графіки яких (тобто множина точок площини, в яких f(x,y)=0) містять одну або декілька ізольованих точок. Наприклад, графік функції y^2 = x^2*(x-1) складається з кривої, що лежить в напівплощині x>1, і ізольованої точки (0;0).

• Гранична точка
• Точка дотику
• Внутрішня точка