Інтегрування за допомогою формули Ейлера

В інтегральному численні комплексні числа та формула Ейлера можуть бути використані для знаходження інтегралів, що містять тригонометричні функції. Використовуючи формулу Ейлера, будь-яка тригонометрична функція може бути записана через експоненціальні функції ${\rm {e}}^{ix}$ та ${\rm {e}}^{-ix}$ , а потім проінтегрована. Цей спосіб часто простіший і швидший, ніж використання тригонометричних тотожностей або інтегрування частинами, і є досить ефективним для інтегрування будь-якого раціонального виразу, що містить тригонометричні функції.

Формула Ейлера

Формула Ейлера стверджує, що[1]

{\rm {e}}^{ix}=\cos x+i\sin x

.

Підстановка $-x$ замість $x$ дає рівняння

{\rm {e}}^{-ix}=\cos x-i\sin x

,

оскільки косинус — парна, а синус — непарна функції. Ці два рівняння можна розв'язати відносно синуса та косинуса:

\cos x={\frac {{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}}{2}}\quad {\text{та}}\quad \sin x={\frac {{\rm {e}}^{ix}-{\rm {e}}^{-ix}}{2i}}

.

Приклади

Перший приклад

Розглянемо інтеграл

\int \cos ^{2}x\operatorname {d} x

.

Стандартний підхід до цього інтегралу полягає у використанні формули половинного кута для спрощення підінтегральної функції. Однак, можна використовувати тотожність Ейлера замість цього:

{\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}}{2}}\right)^{2}\operatorname {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}

На цьому етапі можливий перехід до дійсних чисел за формулою ${\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}=2\cos 2x$ . Крім того, можливе інтегрування комплексних експонент без повернення до тригонометричних функцій:

{\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x&={\frac {1}{4}}\left({\frac {{\rm {e}}^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {{\rm {e}}^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}

Другий приклад

Розглянемо інтеграл

\int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x

.

Знаходження цього інтегралу за допомогою тригонометричних тотожностей досить громіздке, але використання тотожності Ейлера робить його відносно неcкладним:

{\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}-{\rm {e}}^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}}{2}}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}-2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\left({\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{6ix}-2{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}-2{\rm {e}}^{-4ix}+{\rm {e}}^{-6ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}

На цьому етапі можна одразу використати метод безпосереднього інтегрування, або спочатку замінити підінтегральну функцію на $2\cos 6x-4\cos 4x+2\cos 2x$ і продовжити інтегрування. Будь-який з методів дає

\int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C

.

Використання дійсної частини

Крім тотожності Ейлера може бути корисним використання дійсної частини комплексного виразу. Наприклад, розглянемо інтеграл

\int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x

.

Оскільки $\cos x$ — дійсна частина функції ${\rm {e}}^{ix}$ , то

\int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x=\operatorname {Re} \left(\int {\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{ix}\operatorname {d} x\right).

Інтеграл праворуч легко знайти:

\int {\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{ix}\operatorname {d} x=\int {\rm {e}}^{(1+i)x}\operatorname {d} x={\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}+C.

Отже,

{\begin{aligned}\int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x&=\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C={\rm {e}}^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}

Дроби

Загалом, цей метод може бути використаний для обчислення будь-яких дробивих виразів, що містять тригонометричні функції. Наприклад, розглянемо інтеграл

\int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\operatorname {d} x

.

Використовуючи тотожність Ейлера, отримаємо

{\frac {1}{2}}\int {\frac {12+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}}{{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}+{\rm {e}}^{3ix}+{\rm {e}}^{-3ix}}}\operatorname {d} x

.

Якщо виконати підстановку $u={\rm {e}}^{ix}$ , то отримаємо інтеграл від дробово-раціональної функції:

-{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+12u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\operatorname {d} u

.

Будь-яка раціональна функція є інтегрованою (наприклад, використовуючи елементарні дроби), і тому будь-який дріб, що містить тригонометричні функції, також може бути інтегрованим.

Див. також

Примітки

Weisstein, Eric W.(June 14 2017)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Weisstein, Eric W.(June 14 2017)