Розкладання на прості дроби

Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на прості дроби) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше.

Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми

{\frac {f(x)}{g(x)}}

де ƒ і g є многочленами, до виразу форми

\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}

де g_j (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

знаменник кожного виразу степінь незвідного многочлена і
чисельник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня чисельника напряму, можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе.

Приклади

Приклад 1

f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}

Тут знаменник можна розкласти на два різні лінійні множники:

q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)

Отже, ми маємо такий розклад

f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}

Множення на x² + 2x − 3 дає нам таке рівняння

1=A(x-1)+B(x+3)

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4. Отже,

f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)

Приклад 2

f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}

Після ділення многочленів, ми маємо

f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}

Оскільки (−4)² − 4×8 = −16 < 0, множник x² − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}

Множачи на x³ − 4x² + 8x, отримуємо тотожність

4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x² ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)

Приклад 3

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в розв'язанні за допомогою СКА.

f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}

Розклавши на прості дроби отримує таку форму

{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}

Множачи на (x − 1)³(x² + 1)² переходимо до тотожних многочленів

{\begin{aligned}&{}\quad 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо A − B + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = A − B.

Маємо тотожність

{\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\&=A((x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+(x-1)^{3}(x^{2}+1))+B((x-1)(x^{2}+1)-(x-1)^{3}(x^{2}+1))+(x^{2}+1)^{2}+Dx(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\end{aligned}}

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

{\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

{\begin{aligned}A+D&=&2\\-A-3D&=&-4\\2B+4D+1&=&5\\-2B-4D+1&=&-3\\-A+2B+3D-1&=&1\\A-2B-D+3&=&3,\end{aligned}}

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 випливає, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = A − B = 1, F = 0 і G = 1.

Отже, розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)^mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (2+0)+8+D\cdot 0

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби

Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області комплексних або дійсних чисел на найпростіші дроби.

Нехай $p(z)$ і $q(z)$ — многочлени з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена $p(z)$ менше степені многочлена $q(z)$ , коефіцієнт при старшому члені многочлена $q(z)$ дорівнює 1, $z_{i}$ $i\in \{1,..,k\}$ ― корені многочлена $q(z)$ з кратностями $\alpha _{i}$ , отже,

q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k})^{\alpha _{k}}

Функція $p/q$ може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів

{\frac {p(z)}{q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{\frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

де $A_{i,j}$ ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені $q$ ). Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до системи лінійних рівнянь відносно $A_{i,j}$ .

Примітка. Знаходження невідомих можна спростити, якщо $q(z)$ має некратні корні $z_{j}$ . Після множення на $z-z_{j}$ останньої рівності і підстановки $z=z_{j}$ безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта $A_{j}={\frac {p(z_{j})}{\prod \limits _{i\neq j}(z_{j}-z_{i})^{\alpha _{i}}}}$ .

Джерела

Корн Г., Корн Т. (1977). Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. с. 832 с.

Див. також

Розкладання дробів при інтегруванні

Посилання

Weisstein, Eric W. Розклад на прості дроби(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.