Анізотропна дифузія

Формально, нехай ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ позначає підмножину площини і ${\displaystyle }$ ${\displaystyle I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ - сім'я напівтонових зображень. Тоді анізотропна дифузія визначається як

${\displaystyle }$${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=div(c(x,y,t)\nabla I)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\Delta I}$

де ${\displaystyle \Delta }$ позначає оператор Лапласа, ${\displaystyle }$${\displaystyle \nabla }$ позначає градієнт, ${\displaystyle div(...)}$${\displaystyle }$ це дивергенція оператора і ${\displaystyle }$${\displaystyle c(x,y,t)}$ - коефіцієнт дифузії. ${\displaystyle c(x,y,t)}$ ${\displaystyle }$ контролює швидкість дифузії і зазвичай вибирається як функція градієнта зображення, так як це зберігає краї зображення. П'єтро Перона і Джітендра Малік вперше представили ідею анізотропної дифузії в 1990 році і запропонували дві функції для коефіцієнта дифузії:

${\displaystyle c(||\nabla I||)=e^{-(||\nabla I||/K)^{2}}}$${\displaystyle }$

і

${\displaystyle c(||\nabla I||)={\frac {1}{1+{\bigg (}{\frac {||\nabla I||}{K}}{\bigg )}^{2}}}}$${\displaystyle }$

константа ${\displaystyle K}$  визначає чутливість до країв і, як правило, визначається експериментально або ж як функція шуму на зображенні.

Нехай ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle }$ позначає копію гладких зображень. Тоді дифузійні рівняння, представлені вище, можуть бути інтерпретовані як рівняння градієнтного спуску для мінімізації енергії ${\displaystyle }$ ${\displaystyle E:M\rightarrow \mathbb {R} }$визначеної як:

${\displaystyle E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx}$

де ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle }$ є дійсною функцією і яка тісно пов'язана з коефіцієнтом дифузії. Тоді для будь-якої фінітної, нескінченно диференційовної тестової функції ${\displaystyle h}$,${\displaystyle }$ маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\&=-\int _{\Omega }\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}$

де останній рядок випливає з багатовимірного інтегрування частинами. Через ${\displaystyle \nabla E_{I}}$${\displaystyle }$ позначимо градієнт ${\displaystyle E}$ щодо ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle }$ прегільбертового простору оцінений в ${\displaystyle I}$. Це дає

${\displaystyle }$${\displaystyle \nabla E_{I}=-div(g'(||\nabla I(x)||^{2})\nabla I)}$

Таким чином, градієнтний спуск рівняння заданий як

${\displaystyle }$${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=div(g'(||\nabla I(x)||^{2})\nabla I)}$

Тоді, взявши ${\displaystyle c=g'}$ ${\displaystyle }$ ми отримуємо анізотропне рівняння дифузії.

У цьому розділі буде обговорюватись регуляризація Перона-Маліка. При такому підході, невідоме скручується з Гауссіаном всередині нелінійності для отримання модифікованих рівнянь Перона-Маліка.

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=div(c(|DG_{\sigma }*I|)\nabla I)}$${\displaystyle }$

Де ${\displaystyle G_{\sigma }=C_{\sigma }^{-(1/2)}exp(-|x|^{2}/4\sigma )}$ ${\displaystyle }$.

Коректність цього рівняння може бути досягнута шляхом регуляризації, а також за допомогою введення ефекту розмитості, який є основним недоліком регуляризації. Необхідно також мати попередні знання про рівень шуму, оскільки вибір параметра регуляризації залежить від нього.

Анізотропна дифузія може бути використана для видалення шуму з цифрових зображень без розмиття країв. З постійним коефіцієнтом дифузії, анізотропне рівняння дифузії зводяться до рівняння теплопровідності , яке еквівалентне Гаусовому розмиттю. Це ідеально підходить для видалення шумів, але і безрозбірно розмиває краї теж. Коли коефіцієнт дифузії є обраний як функція для пошуку границі, як, наприклад, у Перона і Маліка, отримані рівняння підтримують дифузію (і, отже, згладжування) усередині областей, а також забороняти її вздовж границь. Отже, краї зображення можуть бути збережені під час видалення шуму зображення.

• Числове розв'язування двовимірних задач адвекції - дифузії на прямокутній області

Львівський національний університет ім. І. Франка