Дивергенція (математика)
Диверге́нція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.
Розділи в | ||||||
Математичному аналізі | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||
|
||||||
|
||||||
|
||||||
Спеціалізовані |
||||||
Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля немає, або вони зрівноважені. Таке поле називають соленоїдальним.
Визначення
Дивергенцією векторного поля в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню , що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:
В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:
де — оператор Гамільтона
Властивості дивергенції
Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.
- Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полів , та будь-яких чисел , справедливий наступний вираз:
- Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля на векторне :
- Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:
- Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:
- Дивергенція ротора тотожно дорівнює нулю:
Див. також
- Дивергентна границя (в геології)
Джерела
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)