Функтор Tor

Нехай R — кільце. Позначимо R-Mod категорію лівих R-модулів і Mod-R — категорію правих R-модулів. (Якщо R є комутативним, дві категорії можна ідентифікувати.) Для деякого лівого R-модуля B, позначимо T(A) = A ⊗_R B для модуля A з категорії Mod-R. T є правим точним функтором із Mod-R у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує лівий похідний функтор L_iT. Групи Tor є абелевими групами заданими як:

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$

для цілого числа i. Більш детально: для довільної проективної резольвенти

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

відкинувши елемент A можна одержати ланцюговий комплекс:

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$

Для кожного цілого числа i, Tor^R_i(A, B) є гомологією цього комплекса на позиції i. Для від'ємного i група вважається рівною тривіальній. Наприклад, Tor^R₀(A, B) є коядром відображення P₁ ⊗_R B → P₀ ⊗_R B, яке є ізоморфним A ⊗_R B.

Еквівалентно, можна дати означення Tor зафіксувавши A і взявши ліві похідні функтори правого точного функтора G(B) = A ⊗_R B. У цьому випадку береться тензорний добуток A із проективною резольвентою B і тоді гомологічні групи, як і вище. Всі ці побудови є незалежними від вибору конкретних проективних резольвент і дають в результаті однакові групи.[3]

Загалом, для некомутативного кільця R, Tor^R_i(A, B) є лише абелевою групою. якщо R є алгеброю над кільцем S (що означає, зокрема, що S є комутативним), тоді Tor^R_i(A, B) є S-модулем. Якщо R є комутативним то Tor^R_i(A, B) є R-модулем (використовуючи факт, що A ⊗_R B теж є R-модулем у цьому випадку).

Нижче подані основні властивості і обчислення для груп Tor.[4]

• Tor^R₀(A, B) ≅ A ⊗_R B для будь-якого правого R-модуля A і лівого R-модуля B.

• TorRi(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо або A або B є плоским (наприклад, вільним) R-модулем. Tor можна обчислити використовуючи плоску резольвенту A або B; плоска резольвента є більш загальною ніж проективна (чи вільна) резольвента.[5]

• Для попереднього твердження справедливими є обернені:
  • Якщо TorR1(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є плоским (і тому TorRi(A, B) = 0 для всіх i > 0).
  • Якщо TorR1(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є плоским (і тому TorRi(A, B) = 0 для всіх i > 0).

• Згідно загальних властивостей похідних функторів, кожна коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 правих R-модулів породжує довгу точну послідовність виду [6]

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$

для будь-якого лівого R-модуля B. Аналогічна точна послідовність також є для Tor стосовно другої змінної.

• Симетричність: для комутативного кільця R, існує природний ізоморфізм TorRi(A, B) ≅ TorRi(B, A).[7] (Для комутативного R немає потреби розрізняти ліві і праві R-модулі.)

• Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді для будь-якого R-модуля B маємо:

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ де

${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\},}$

є підгрупою u-кручення у B. Цей факт пояснює назву Tor. Для ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ цей результат можна використати для обчислення ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$ для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.

• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$ для всіх i ≥ 2 оскільки кожна абелева група A має вільну резольвенту довжини 1, оскільки кожна підгрупа вільної абелевої групи є вільною абелевою групою.

• Для будь-якого кільця R, Tor зберігає прямі суми (можливо нескінченні) і фільтровані кограниці.[8] Наприклад, по першій змінній це означає

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$

• Для комутативного кільця R, Tor комутує з операцією локалізації. Тобто для мультиплікативно замкнутої множини S у R, R-модулів A і B, і цілого числа i,[9]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

• Гомологія груп є рівною ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ де G є групою, M є представленням G над цілими числами, і ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ є груповим кільцем G.

• Для алгебри A над кільцем R і A-бімодуля M, гомологія Хохшильда є рівною

${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{R}A^{\text{op}}}(A,M).}$

• Гомологія алгебр Лі є рівною ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M),}$ де ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є алгеброю Лі над комутативним кільцем R, M є ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модулем, і ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ є універсальною обгортуючою алгеброю.

• Для комутативного кільця R із гомоморфізмом на поле k, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ має структуру градуйовано-комутативної алгебри Хопфа над k. Якщо k має характеристику 0, вона є вільною градуйовано-комутативноо алгеброю на гомології Андре — Квіллена ${\displaystyle D_{*}(k/R,k).}$[10]

• Плоский модуль
• Похідний функтор
• Функтор Ext

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956]. Homological algebra. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-04991-2. MR 0077480.
• Čech, Eduard (1935). Les groupes de Betti d'un complexe infini. Fundamenta Mathematicae 25: 33–44. JFM 61.0609.02. doi:10.4064/fm-25-1-33-44.
• Quillen, Daniel (1970). On the (co-)homology of commutative rings. Applications of categorical algebra. Proc. Symp. Pure Mat. 17. American Mathematical Society. с. 65–87. MR 0257068.*Weibel, Charles A (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324.
• Weibel, Charles A (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324.
• Weibel, Charles (1999). History of homological algebra. History of topology. Amsterdam: North-Holland. с. 797—836. MR 1721123.