Підкільце

Підкільце кільця ${\displaystyle K}$ — це пара ${\displaystyle (R,i)}$, де ${\displaystyle R}$ — кільце, а ${\displaystyle i:R\hookrightarrow K}$ — мономорфізм (вкладення) кілець.

Таке визначення узгоджується із загальними поняттями:

• підструктури в універсальній алгебрі та
• підоб'єкта в теорії категорій.

У класичному визначенні підкільце кільця ${\displaystyle (K,+,*)}$ розглядається як підмножина ${\displaystyle R\subset K}$, замкнута відносно операцій ${\displaystyle +}$ і ${\displaystyle *}$ з основного кільця. Це визначення рівносильне наведеному вище, проте в сучасному визначенні підкреслюється внутрішня структура підкілець і зв'язок між різними кільцями. Воно також легко узагальнюється на випадок довільних математичних об'єктів (алгебричних, геометричних тощо). Різниця між визначеннями аналогічна різниці між теоретико-множинним і теоретико-категорійним поглядом на математику.

Зокрема, різні визначення кільця дають два основні змістовні поняття підкільця. У категорії (всіх) кілець ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ підкільце, як у класичному визначенні, можна розглядати як довільну підмножину кільця, замкнуту за додаванням і множенням. Цікавіша ситуація в категорії кілець з одиницею ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$ : морфізми (гомоморфізми) ${\displaystyle f:R\to K}$ в цій категорії мають відображати одиницю кільця ${\displaystyle R}$ в одиницю кільця ${\displaystyle K}$ (аналогічно гомоморфізму напівгруп з одиницею), тому підкільце ${\displaystyle R}$ кільця ${\displaystyle K}$ також має містити одиницю: ${\displaystyle 1_{K}\in R}$ .

Категорія ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ влаштована значно краще, ніж ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$. Наприклад, ядро будь-якого гомоморфізму також є об'єктом цієї категорії. Тому, кажучи про підкільця, зазвичай мають на увазі підкільце в ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$, якщо не зазначено інше.

Приклади

1. Будь-який ідеал (лівий, правий, двосторонній) замкнутий відносно додавання і множення, тому є підкільцем у ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$.
2. У ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$ ідеал є підкільцем тільки тоді, коли містить ${\displaystyle 1}$, тому він має збігатися з усім кільцем. Тому в ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$ власні ідеали не є підкільцями.
3. У ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ підкільцями в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ є всі головні ідеали ${\displaystyle (n)=n\mathbb {Z} }$. У ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ не має власних підкілець.
4. Кільце цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ є підкільцем поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і підкільцем кільця многочленів ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$.