Вкладення
Вкладення у математиці — це спеціального вигляду відображення одного екземпляру деякої математичної структури у інший екземпляр того ж типу. А саме, вкладення деякого об'єкту у визначається ін'єктивним відображенням, яке зберігає деяку структуру. Що означає «збереження структури», залежить від типу математичної структури, об'єктами котрої є та . У термінах теорії категорій відображення, яке «зберігає структуру», називають морфізмом.
Те, що відображення є вкладенням, часто позначають «стрілкою-парасолькою» таким чином: .
Для заданих та може бути декілька можливих вкладень. У багатьох випадках існує стандартне (або «канонічне») вкладення — наприклад, вкладення натуральних чисел у цілі, цілих — у раціональні, раціональних — у дійсні, а дійсних — у комплексні. У таких випадках зазвичай задають область визначення з образом , таку що .
Геометрія та топологія
Загальна топологія
Відображення топологічних просторів називається вкладенням у , якщо — гомеоморфізм (на розглядається топологія, індукована з ). Кожне вкладення неперервне і ін'єктивне.
Для простору існує вкладення — топологічний інваріант. Ми можемо розрізняти два простори, якщо один з них можна вкласти у , а інший — ні.
Диференційна топологія
Нехай — гладкі многовиди та — гладке відображення. Воно називається зануренням, якщодиференціал відображення всюди ін'єктивний. Гладке вкладення — це занурення, що є також вкладенням у вищенаведеному сенсі (тобто, гомеоморфізмом на свій образ).
Іншими словами, вкладення дифеоморфне своєму образу, і, зокрема, образ вкладення повинен бути підмноговидом. Занурення у свою чергу є локальним вкладенням (тобто, для кожної точки існує окіл такий, що — вкладення).
Алгебра
Теорія кілець
У теорії кілець вкладенням називається ін'єктивний кільцевий гомоморфізм . Так як є підкільцем кільця , то вкладення встановлює ізоморфізм між кільцями та .
Теорія категорій