Вільна алгебра Лі

Вільною алгеброю Лі ${\displaystyle FL(X)}$ породженою множиною ${\displaystyle X}$ називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:

Існує вкладення ${\displaystyle X\rightarrow FL(X)}$ і якщо ${\displaystyle \theta :X\rightarrow L}$ є вкладенням множини ${\displaystyle X}$ у довільну алгебру Лі ${\displaystyle L,}$ то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі ${\displaystyle \varphi :FL(X)\rightarrow L}$, для якого ${\displaystyle \varphi \circ i=\theta }$.[1]

Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною ${\displaystyle X.}$ Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.

Нехай ${\displaystyle K}$ позначає довільне поле. Для множини ${\displaystyle X\not =\emptyset }$ позначимо ${\displaystyle A(X)}$ вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle i:X\rightarrow A(X)}$ — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор

${\displaystyle [a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in A(X)}$

і з цією операцією ${\displaystyle A(X)}$ є алгеброю Лі. Визначимо

${\displaystyle FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X),\;i(X)\subset L\}}$

де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у ${\displaystyle A(X),}$ що містять ${\displaystyle i(X).}$.

${\displaystyle FL(X)}$ є вільною алгеброю Лі породженою множиною ${\displaystyle X}$.[2]

Згідно з побудовою ${\displaystyle i(X)\subset FL(X)}$ і ${\displaystyle i}$ можна розглядати як вкладення ${\displaystyle X\rightarrow FL(X).}$

Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle M(X)}$— то вільна магма на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)}$— асоціативна алгебра із базисом ${\displaystyle M(X)}$ із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал ${\displaystyle I\subset \mathrm {Lib} (X)}$, породжений усіма елементами виду

${\displaystyle a\cdot a,\quad a\in \mathrm {Lib} (X)}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),\quad a,b,c\in \mathrm {Lib} (X).}$

Тоді ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)/I}$ є вільною алгеброю породженою множиною ${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle L(X;\emptyset )=FL(X)}$, оскільки ідеалом у цьому випадку є ${\displaystyle \{0\}}$.

• Нехай елементами ${\displaystyle R}$ є всі вирази виду ${\displaystyle [x_{1},x_{2}],\,x_{1},x_{2}\in X}$. Тоді ${\displaystyle L(X;R)}$ є комутативною алгеброю для якої елементи ${\displaystyle X}$ утворюють базис векторного простору.

• Нехай маємо множину ${\displaystyle X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$ і ${\displaystyle A_{i,j}}$ деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів.

Нехай ${\displaystyle R}$ породжена елементами

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}$

${\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{j}]}$   для   ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елементів ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елементів ${\displaystyle f_{i}}$

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо ${\displaystyle A_{i,j}}$ є коефіцієнтами матриці Картана то ${\displaystyle L(X;R)}$ є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.[4]. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.