Матриця Картана

Нехай ${\displaystyle L}$ скінченновимірна напівпроста алгебра Лі над алгебрично замкнутим полем характеристики 0, ${\displaystyle H}$ її підалгебра Картана. Для ${\displaystyle x\in L}$ використовується стандартне позначення приєднаного представлення

${\displaystyle \mathrm {ad} \,x:L\rightarrow L,\quad y\mapsto [x,y]}$.

Cиметрична, невироджена білінійна форма ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\mathrm {Tr} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))}$ називається формою Кіллінга. Її обмеження на підалгебру Картана ${\displaystyle H}$ є додатноозначеною білінійною формою. Можна ввести лінійний функціонал ${\displaystyle \alpha \in H^{*}}$ як

${\displaystyle \alpha _{x}:H\rightarrow \mathbb {F} ,\,y\mapsto \langle x,y\rangle }$

для елемента ${\displaystyle x\in H}$. Звідси одержується ізоморфізм векторних просторів ${\displaystyle \iota :H\rightarrow H^{*},x\mapsto \alpha _{x}}$ і скалярний добуток на ${\displaystyle H^{*}}$, визначений як ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\langle \iota ^{-1}(\alpha ),\iota ^{-1}(\beta )\rangle }$.

Існує однозначно визначена скінченна множина ${\displaystyle \Phi \subset H^{*}\setminus \{0\}}$ лінійних функціоналів ${\displaystyle \alpha :H\rightarrow \mathbb {F} }$ таких що

${\displaystyle L=H\oplus \sum _{\alpha \in \Phi }L_{\alpha }}$

де

${\displaystyle L_{\alpha }:=\{x\in L|\,\forall h\in H:\,\exists n\in \mathbb {N} :\,(\mathrm {ad} \,h-\alpha (h)\mathrm {id} _{H})^{n}x=0\}}$

і ${\displaystyle L_{\alpha }}$ є підпросторами розмірності 1. Елементи множини ${\displaystyle \Phi }$ називаються коренями. Існують підмножини ${\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi }$ такі, що всі корені ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ є лінійними комбінаціями елементів із ${\displaystyle \Phi _{0}}$ із цілими коефіцієнтами і до того ж для кожного кореня або всі коефіцієнти у лінійній комбінації є додатними або всі відємними. Множина ${\displaystyle \Phi _{0}=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}\}}$ називається множиною простих або фундаментальних коренів і її елементи утворюють базис простору двоїстого до підалгебри Картана ${\displaystyle H}$.

Матриця Картана алгебри Лі за означенням є матрицею із коефіцієнтами ${\displaystyle A_{i,j}:=2{\frac {\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{i},\alpha _{i}\rangle }},\quad i,j=1,\ldots l}$.[1]

Дві матриці Картана називаються еквівалентними, якщо одна одержується з іншої перестановкою фундаментальних коренів. Клас еквівалентності матриці Картана напівпростої алгебри Лі не залежить від вибору підалгебри Картана чи вибору підмножини ${\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi }$ фундаментальних коренів.

• ${\displaystyle (2)}$ є єдиною матрицею Картана розмірності ${\displaystyle 1\times 1}$.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}}}$ є матрицею Картана двовимірної спеціальної лінійної алгебра Лі.

Інші приклади є у розділі класифікації матриць Картана напівпростих Алгебр Лі.

Нехай ${\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}}$ матриця Картана напівпростої алгебри Лі. Тоді:

• ${\displaystyle A_{i,i}=2}$   для всіх   ${\displaystyle i}$.
• ${\displaystyle A_{i,j}=0}$   тоді і тільки тоді, коли   ${\displaystyle A_{j,i}=0}$
• ${\displaystyle A_{i,j}\in \{0,-1,-2,-3\}}$   для всіх   ${\displaystyle i\not =j}$
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}\in \{-2,-3\}}$   то   ${\displaystyle A_{j,i}=-1}$

• ${\displaystyle A}$ є невиродженою і обернена матриця має невід'ємні раціональні коефіцієнти.[2]
• Існують діагональна матриця ${\displaystyle D}$ і симетрична матриця ${\displaystyle B}$ для яких ${\displaystyle A=DB}$.

Якщо матриця Картана алгебри Лі ${\displaystyle L}$ є еквівалентною матриці виду

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}}$

для деяких матриць ${\displaystyle A_{1}}$ і ${\displaystyle A_{2}}$ меншої розмірності, то матриця Картана називаєть розкладною. Матриці ${\displaystyle A_{1}}$ і ${\displaystyle A_{2}}$ є матрицями Картана і алгебра Лі ${\displaystyle L}$ є прямою сумою ідеалів ${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{2}}$ де ${\displaystyle A_{i}}$ є матрицею Картана ${\displaystyle L_{i}}$.

Нерозкладні матриці Картана відповідають простим алгебрам Лі. Більш точно скінченновимірні прості алгебри Лі мають еквівалентні нерозкладні матриці Картана і еквівалентні нерозкладні матриці Картана відповідають ізоморфним простим алгебрам Лі.

Для нерозкладних матриць Картана над алгебрично замкнутим полем характеристики 0 відома вичерпна класифікація із якої одержується також класифікація скінченновимірнихr простих алгебр Лі над такими ж полями.[3]

Класифікація розбиває всі такі матриці на 4 послідовності A_n, B_n, C_n, D_n, і пять окремих матриць:

${\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 1}$

${\displaystyle B_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-2&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 2}$

${\displaystyle C_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-2\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 3}$

${\displaystyle D_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&&\\&&&&&-1&2&-1&&\\&&&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&&&-1&2&\\&&&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 4}$

${\displaystyle E_{6}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&\\-1&2&-1&&&\\&-1&2&-1&-1&\\&&-1&2&&\\&&-1&&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{7}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{8}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle F_{4}={\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&-2&2&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle G_{2}={\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}}$

Визначники відповідних матриць Картана наведені у таблиці:

${\displaystyle A_{n}}$	${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$	${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$	${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 4}$	${\displaystyle E_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 5}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle G_{2}}$
n+1	2	2	4	9-n	1	1

Для кожної матриці Картана ${\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}}$ із наведеного вище списку існує єдина (з точністю до ізоморфізму) скінченновимірна проста алгебра Лі. Це твердження часто називається теоремою про існування. Її можна отримати із вільної алгебри Лі із генераторами ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$ із додаванням співвідношень:

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}$

${\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{j}]}$   для   ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і для ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елемента ${\displaystyle e_{i}}$ у формулі

${\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і для ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елемента ${\displaystyle f_{i}}$ у формулі.

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Для кожного класу еквівалентності нерозкладних матриць Картана побудована за такими співвідношеннями алгебра Лі буде скінченновимірною простою і вихідна матриця буде її матрицею Картана.[4]

Для загальної матриці Картана внаслідок такої побудови одержується напівпроста алгебра Лі.

Більш загально якщо матриця (яку теж часто називають матрицею Картана) задовольняє лише перші дві властивості зі списку, а замість двох наступних вимагається лише те, що всі недіагональні елементи є недодатними цілими числами то для неї теж можна побудувати алгебру Лі за тою ж схемою із породжуючими елементами і співвідношеннями. Одержана внаслідок такої побудови алгебра Лі буде скінченновимірною тоді і лише тоді, коли вихідна матриця є матрицею Картана напівпростої алгебри Лі.

зв'язані діаграми Динкіна

Матриці Картана можна класифікувати за допомогою діаграм Динкіна. Для будь-якої матриці Картана ${\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}}$ розмірності ${\displaystyle n}$ будується граф із ${\displaystyle n}$ вершинами ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}$ Дві вершини ${\displaystyle x_{i}}$ і ${\displaystyle x_{j}}$ сполучаються ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}}$ ребрами. Якщо ${\displaystyle x_{i}}$ і ${\displaystyle x_{j}}$ пов'язуються більш ніж одним ребром, то додатково малюється стрілка > у напрямку вершини ${\displaystyle x_{j}}$ для якої ${\displaystyle |A_{j,i}|>|A_{i,j}|}$.[5]

З діаграми Дінкіна можна однозначно відновити матрицю Картана. На малюнку зображені всі зв'язані діаграми Динкіна для нерозкладних матриць Картана ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$.

• Напівпроста алгебра Лі
• Система коренів