Алгебра Каца — Муді

Алгебрами Каца — Муді називаються загалом нескінченновимірні алгебри Лі, що є узагальненнями напівпростих скінченновимірних алгебр Лі. Як і напівпрості скінченновимірні алгебри Лі, алгебри Каца — Муді можна задати за допомогою співвідношень Серра, лише замість матриці Картана коефіцієнти у цих співвідношеннях є елементами деякої більш загальної матриці. Напівпрості алгебри Лі є єдиними прикладами скінченновимірних алгебр Каца — Муді.

У цій статті всюди де не вказано інше усі об'єкти розглядаються над алгебрично замкнутим полем K характеристика якого є рівною 0.

Побудова

Узагальнені матриці Картана

Матриця розмірності називається узагальненою матрицею Картана, якщо

  • Коефіцієнти матриці для всіх
  • для всіх
  • для всіх
  • тоді і тільки тоді, коли для всіх .

Матриця Картана системи коренів напівпростої алгебри Лі задовольняє всі ці властивості і вона є частковим прикладом узагальненої матриці Картана.

Дві узагальнені -матриці Картана і називаються еквівалентними, якщо існує перестановка елементів при якій

Узагальнена матриця Картана називається розкладною, якщо вона є еквівалентною матриці виду

для деяких матриць і (які теж будуть узагальненими матрицями Картана). В іншому випадку матриця називається нерозкладною.

Реалізація матриці

Для узагальненої матриці розмірності введемо

  • Скінченновимірний -векторний простір
  • Лінійно незалежні вектори ,
  • Лінійно незалежні елементи спряженого простору , для яких для всіх

Тоді називається реалізацією матриці . Найменша можлива розмірність простору є рівною де позначає ранг матриці. До того ж дві такі реалізації і мінімальної розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійне відображення що переводить у і спряжене відображення переводить у Тобто існує єдиний клас ізоморфізму мінімальних реалізацій.[1]

Задання алгебр Лі

Нехай — узагальнена матриця Картана розмірності і — її мінімальна реалізація. На основі цієї мінімальної реалізації можна побудувати вільну алгебру Лі породжену множиною

.

На цій алгебрі можна розглянути множину співвідношень

  •   для всіх   mit
  •   для всіх  
  •   для всіх  
  •   для всіх  
  •   для всіх  
  •   для всіх  

Нехай ця множина позначається і — алгебра Лі задана породжуючими елементами із множини і множиною співвідношень При цьому відображення задає ізоморфізм алгебр Лі.

Означення алгебр Каца — Муді

Для узагальненої матриці Картана із побудованими вище алгебрами і нехай I — єдиний максимальний ідеал для якого Тоді алгебра Лі

називається алгеброю Каца — Муді для матриці .

Клас ізоморфізмів алгебри Лі залежить лише від класу еквівалентності узагальнених матриць Картана. Якщо є звичайною матрицею Картана, то алгебра Каца — Муді матриці є ізоморфною скінченновимірній напівпростій алгебрі Лі.[2]

Узагальнена матриця Картана A називається симетризовною якщо існують такі невироджена діагональна матриця D (яку можна обрати так щоб всі її діагональні елементи були додатними) і симетрична матриця S (яку можна обрати так щоб всі її елементи були раціональними числами) такі, що A = DS.

У випадку алгебр Каца — Муді для симетризовних матриць означення можна дати за допомогою множини породжуючих елементів і співвідношень

  для  
  для і входжень елементів
  для і входжень елементів

У випадку симетризовних матриць Картана ці два означення є еквівалентними. Зокрема два останні типи елементів породжуєть максимальний ідеал I. Іноді друге означення також використовується і у загальному випадку.

Три типи алгебр Каца — Муді

Алгебри Каца - Муді поділяються на три типи залежно від властивостей їх узагальнених матриць Картана:

  • Алгебра називається алгеброю скінченного типу, якщо її матриця Картана є додатноозначеною.
  • Алгебра називається алгеброю афінного типу, якщо її матриця Картана є напівдодатноозначеною корангу 1, тобто її визначник дорівнює 0 але всі власні головні мінори не є нульовими.
  • Алгебра називається алгеброю невизначеного типу, якщо її узагальнена матриця Картана не задовольняє вказані властивості.

Можна надати еквівалентні характеристики:

  • є матрицею алгебри скінченного типу, якщо існує для якого і
  • є матрицею алгебри афінного типу, якщо існує для якого і
  • є матрицею алгебри невизначеного типу, якщо існує для якого і

Діаграми Динкіна

Так само, як і в теорії скінченновимірних напівпростих алгебр Лі, для кожної узагальненої -матриці Картана можна побудувати узагальнення діаграми Динкіна, згідно таких правил:

  • Вершини графу позначаються і відповідають рядкам і стовпцям матриці.
  • Якщо , то вершини і не сполучаються ребрами.
  • Якщо , то вершини і сполучаються одним ребром.
  • Якщо , то вершини і сполучаються двома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини , якщо і .
  • Якщо , то вершини і сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини , якщо і .
  • Якщо і , то вершини і сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини , якщо і .
  • Якщо і , то вершини і сполучаються двома ребрами. На них додаються дві стрілки, > і <, як на малюнку.
  • Якщо , то вершини і сполучаються ребром із записом чисел і на ньому.

Узагальнену матрицю Картана завжди можна відновити за допомогою діаграми Динкіна. Матриця буде нерозкладною тоді і тільки тоді коли відповідних граф буде зв'язним.

Корені і кореневий розклад алгебр Каца — Муді

є аналогом підалгебри Картана для .

Якщо є елементом для якого

для деякого , то називається кореневим вектором і коренем алгебри . (За означенням нульовий функціонал не вважається коренем.) Множина всіх коренів позначається або . Для даного кореня one denotes by позначає кореневий простір кореня , тобто

.

Із системи співвідношень для випливає, що і . Також якщо і , то .

Для алгебри Каца — Муді існує кореневий розклад у пряму суму і кореневих просторів, тобто:

,

і кожен корінь можна записати як суму де всі є цілими числами із однаковим знаком.

Для фундаментальних коренів розмірності їх кореневих просторів є рівними 1. Це ж справедливо і для коренів одержаних із фундаментальних дією (узагальненої) групи Вейля (для напівпростих алгебр Лі всі корені задовольняють цю властивість). Для цих коренів (вони називаються дійсними) єдиними коренями на прямій є і Натомість для інших коренів (вони називаються уявними) усі є коренями.

Для симетризовних узагальнених матриць Картана існує білінійна форма на що є узагальненням форми Кіллінга і її обмеження на є невиродженою формою. Її стандартно можна перенести також на двоїстий простір. Тоді корінь буде дійсним тоді і тільки тоді коли в іншому випадку він буде уявним.

  • Для алгебр скінченного типу (тобто напівпростих алгебр Лі) усі корені є дійсними.
  • Для алгебр афінного типу існує для якого і Ці вектори визначені з точністю до множення на додатний скаляр, зокрема існує єдиний такий вектор елементами якого є цілі взаємно прості числа. Якщо позначити то усі уявні корені мають вигляд

Примітки

  1. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14.1: Realisations of a square matrix
  2. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 14.3: The Kac-Moody algebra L(A)

Див. також

Література

  • Carter, R. (2005). Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge University Press. ISBN 0-521-85138-6.
  • Kac, Victor G (1990). Infinite-Dimensional Lie Algebras. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8.
  • Kumar, Shrawan (2002). Kac–Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory. Birkhauser. ISBN 3-7643-4227-7.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.