Магма (алгебра)

Ма́гма (групоїд) — базова алгебрична структура в абстрактній алгебрі; складається з множини М з однією бінарною операцією M × M → M, яку зазвичай називають множенням. Єдиною вимогою є замкнутість множини щодо заданої операції.

Алгебричні структури
Групо-подібні
Теорія груп
Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Термін магма запропонував Бурбакі. Термін «групоїд» старіший, його запропонував Ойстін Оре, але в сучасній літературі цим терміном частіше позначають іншу загальноалгебричну структуру — теоретико-категорний групоїд.

Найбільш вивченими типами магм є:

  • Права квазігрупа — групоїд, в якому можливе праве ділення, тобто рівняння завжди має єдиний розв'язок
  • Квазігрупа — одночасно права й ліва квазігрупи.
    • Лупа (петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа):
  • Напівгрупа — асоціативний групоїд:
    • Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
  • Група — моноїд з діленням або асоціативна лупа:

Додаткові види магм

Магма (М, *) називається

  • унітарною — якщо вона має нейтральний елемент,
  • медіалом — якщо виконується xy * uz = xu * yz,
    • лівим напів-медіалом — якщо виконується xx * yz = xy * xz,
    • правим напів-медіалом — якщо виконується yz * xx = yx * zx,
    • напів-медіалом — якщо вона є лівим та правим напів-медіалом одночасно,
  • дистрибутивною зліва — якщо виконується x * yz = xy * xz,
  • дистрибутивною справа — якщо виконується yz * x = yx * zx,
  • автодистрибутивною — якщо вона є дистрибутивною зліва та справа одночасно,
  • комутативною — якщо виконується xy = yx,
  • ідемпотентною — якщо виконується xx = x,
  • юніпотентною — якщо виконується xx = yy,
  • нульпотентною — якщо виконується xx * y = yy * x = xx,
  • альтернативною — якщо виконується xx * y = x * xy та x * yy = xy * y,
  • степенево-альтернативною — якщо підмагма що утвориться буде асоціативною,
  • скорочуваною зліва — якщо виконується xy = xz → y = z
  • скорочуваною зліва — якщо виконується yx = zx → y = z
  • скорочуваною — якщо вона є скорочуваною зліва та справа одночасно,
  • напівгрупою — якщо виконується x * yz = xy * z (асоціативність),
    • напівгрупою з лівими нулями — якщо виконується x = xy,
    • напівгрупою з правими нулями — якщо виконується x = yx,
    • напівгрупою з нульовим множенням — якщо виконується xy = uv,
  • унарною зліва — якщо виконується xy = xz,
  • унарною справа — якщо виконується yx = zx.

Морфізм магм

Морфізм магм — це функція f:M → N, що відображає магму M на магму N, та зберігає бінарну операцію:

де та означають бінарні операції на M та на N відповідно.

Див. також

Література
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.