Гавайська сережка

Гавайська сережка не є однозв'язною, оскільки петля ${\displaystyle l_{n}}$, що параметризує будь-яке з її кіл ${\displaystyle C_{n}}$ не є гомотопною тривіальній. Це можна побачити, наприклад, ввівши ретракцію:

${\displaystyle q_{n}:H\to C_{n}\quad q_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}x_{0}&x\not \in C_{n}\\x&x\in C_{n}\end{matrix}}\right.}$

Дане відображення породжує гомоморфізм ${\displaystyle q_{n*}}$ фундаментальних груп і образом ${\displaystyle l_{n}}$ при цьому гомоморфізмі буде ненульовий елемент фундаментальної групи ${\displaystyle \pi _{*}(C_{n}).}$

Існує неперервне відображення з букета зліченної кількості кіл в H, воно індукує вкладення фундаментальної групи букета (вільної групи із зліченною кількістю породжуючих елементів) в G. Група G містить і інші елементи  — гомотопічні класи петель, що не є підмножинами скінченних множин кіл гавайської сережки; наприклад  — петля, яка «намотує» відрізок ${\displaystyle \left[{\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}}\right]}$ на n-не коло.

Група G є незліченною і не є вільною.

Для доведення незліченності спершу візьмемо добуток ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ циклічних груп ${\displaystyle {\mathbb {Z} }/{2}\mathbb {Z} =\{0,1\}}$ порядку ${\displaystyle {2}}$, який є незліченною множиною згідно зі стандартним діагональним аргументом. Для послідовності ${\displaystyle s=(a_{n})\in \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ можна побудувати петлю ${\displaystyle {\alpha _{s}}:[0,1]\to \mathbb {H} }$ за правилом: ${\displaystyle {\alpha _{s}}}$ є константою на відрізку ${\displaystyle \left[{\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}}\right]}$ якщо ${\displaystyle {a_{n}}={0}}$ і ${\displaystyle {\alpha _{s}}}$ є рівною ${\displaystyle \ell _{n}}$ на ${\displaystyle \left[{\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}}\right]}$ з належною параметризацією, якщо ${\displaystyle a_{n}=1.}$ Відповідно ${\displaystyle \alpha _{s}(1)=x_{0}.}$ Таким чином одержується незліченна множина петель ${\displaystyle \alpha _{s}.}$ Відповідно для доведення незліченності фундаментальної групи достатньо довести, що гласи гомотопії ${\displaystyle {[\alpha _{s}]}\neq {[\alpha _{t}]}}$ якщо ${\displaystyle {s}\neq {t}.}$ Припустимо ${\displaystyle {s}={(a_{n})}\neq {(b_{n})}={t}.}$ Нехай, без втрати загальності ${\displaystyle {a_{N}}={1}}$ і ${\displaystyle {b_{N}}={0}}$ для деякого ${\displaystyle N\in \mathbb {N} .}$ Використаємо тепер введене вище відображення ${\displaystyle q_{N}.}$ Якщо ${\displaystyle {[\alpha _{s}]}={[\alpha _{t}]}}$, то також ${\displaystyle {[q_{N}\circ \alpha _{s}]}={[q_{N}\circ \alpha _{t}]}}$ у ${\displaystyle {\pi _{1}}{(C_{N})}={\mathbb {Z} }.}$ Але ${\displaystyle {[q_{N}\circ \alpha _{t}]}={0}\in {\mathbb {Z} }}$ є тривіальним елементом тоді як ${\displaystyle {[q_{N}\circ \alpha _{s}]}={[q_{N}\circ \ell _{N}]}={1}\in {\mathbb {Z} }}$ є нетривіальним. Тому ${\displaystyle {[\alpha _{s}]}\neq {[\alpha _{t}]},}$ що завершує доведення.

Крім того, G вкладається в проективну границю вільних груп F_n (зв'язуючі відображення з F_n в F_n-1 переводять останній породжуючий елемент в одиницю групи). Однак це відображення не є сюр'єктивним; в його образі лежать елементи проективної границі, в яких кожен з породжуючих елементів зустрічається скінченну кількість разів. Прикладом елемента, що не лежить в образі цього відображення є нескінченний комутатор ${\displaystyle [\gamma _{1},\gamma _{2}][\gamma _{1},\gamma _{3}]\ldots }$.

Опис структури фундаментальної групи загалом можна дати як: фундаментальна група ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} )}$ є ізоморфною групі послідовностей ${\displaystyle (w_{n}),}$ які задовольняють умовам

1. ${\displaystyle w_{n}\in F_{n}}$ є зведеним словом у вільній групі з породжуючими елементами (буквами) ${\displaystyle g_{1},...,g_{n};}$
2. після вилучення букви ${\displaystyle g_{n}}$ у слові ${\displaystyle w_{n}}$ одержується слово ${\displaystyle w_{n-1};}$
3. для кожного ${\displaystyle k\geq 1,}$ кількість разів буква ${\displaystyle g_{k}}$ з'являється у ${\displaystyle w_{n}}$ стабілізується при ${\displaystyle n\to \infty }$ (тобто послідовність ${\displaystyle \#_{k}(w_{1}),\#_{k}(w_{2}),...}$ зрештою стає константою для всіх k).

Хоча абелізація фундаментальної групи не має простого опису, в G існує нормальна підгрупа N, така що ${\displaystyle G/N}$ є ізоморфною ${\displaystyle \prod _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z} }$. Вона називається нескінченною абелізацією або сильною абелізацією G, оскільки N складається з тих елементів, кожна координата яких (якщо думати про G як про підгрупу проективної границі) лежить в комутанті відповідної вільної групи. У певному сенсі, про N можна думати як про замикання комутанта G.

• Букет просторів

• Jeremy Brazas. The Hawaiian Earring Group. Wild topology blog.

• Cannon, J. W.; Conner, G. R. The big fundamental group, big Hawaiian earrings, and the big free groups // Topology and its Applications. — 2000. — Вип. 3. — Vol. 106. — P. 273–291. — DOI:10.1016/S0166-8641(99)00104-2.
• Conner, G.; Spencer, K. Anomalous behavior of the Hawaiian earring group // Journal of Group Theory. — 2005. — Вип. 2. — Vol. 8. — P. 223–227. — DOI:10.1515/jgth.2005.8.2.223.
• Eda, K. The fundamental groups of one-dimensional wild spaces and the Hawaiian earring // Proceedings of the American Mathematical Society. — Вип. 5. — Vol. 130. — P. 1515–1522. — DOI:10.1090/S0002-9939-01-06431-0.
• Eda, K.; Kawamura, K. The singular homology of the Hawaiian earring // Journal of the London Mathematical Society. — Вип. 1. — Vol. 62. — P. 305–310. — DOI:10.1112/S0024610700001071.
• Fabel, P. The topological Hawaiian earring group does not embed in the inverse limit of free groups // Algebraic & Geometric Topology. — Vol. 5. — P. 1585–1587. — DOI:10.2140/agt.2005.5.1585.
• Morgan, J. W.; Morrison, I. A van Kampen theorem for weak joins // Proceedings of the London Mathematical Society. — Vol. 53, № 3. — P. 562–576. — DOI:10.1112/plms/s3-53.3.562.
• Biss, Daniel K. A generalized approach to the fundamental group // American Mathematical Monthly. — MAA, 2000. — Т. 107, № 8. — С. 711–720. — DOI:10.2307/2695468.