Глосарій алгебричної геометрії

Зміст:	А Б В Г Ґ Д Е Є Ж З И І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я

А

абелів многовид: Повна алгебрична група. Наприклад, комплексний многовид $\mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}$ або еліптична крива $E$ над скінченним полем $\mathbb {F} _{q}$ .
алгебрична група: Алгебричний многовид, який також є групою, причому групові операції є морфізмами многовидів.
алгебрична множина: Зведена відокремлювана схема скінченного типу над полем. Алгебричний многовид — це зведена незвідна алгебрична схема.
алгебрична схема: Відокремлювана схема скінченного типу над полем. Наприклад, алгебричний многовид — це зведена незвідна алгебрична схема.
алгебричне векторне розшарування: Локально вільний пучок скінченного рангу.
алгебричний многовид: Ціла відокремлювана схема скінченного типу над полем.
арифметичний рід: Арифметичний рід проєктивного многовиду X розмірності r — це $(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)$ .
артінова схема: 0-вимірна нетерова схема.
афінний: Афінний простір — це, грубо кажучи, векторний простір, у якому ми забули, яка точка є початком координат.; Афінний многовид — це многовид в афінному просторі.; Афінна схема — це схема, ізоморфна спектру деякого комутативного кільця.; Морфізм називають аффінним, якщо прообраз будь-якої відкритої афінної підмножини афінний. Важливі класи афінних морфізмів - векторні розшарування і скінченні морфізми.

Б

біраціональний морфізм: Біраціональний морфізм схем — це морфізм схем, який індукує ізоморфізм їхніх щільних відкритих підмножин. Приклад біраціональних морфізмів - відображення, індуковані роздуттям.

В

відкрита підсхема

Відкрита підсхема схеми X — це відкрита підмножина U зі структурним пучком

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

.

відокремлюваний

Відокремлюваний морфізм — це морфізм

f

, такий, що діагональ розшарованого добутку

f

із собою замкнута. Як наслідок, схема

X

відокремлювана, коли діагональне вкладення

X

в схемний добуток

X

із собою є замкнутим вкладенням. Зауважимо, що топологічний простір Y гаусдорфів, якщо і тільки якщо діагональне вкладення

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y

замкнуте. Відмінність між топологічним і алгебро-геометричним випадками полягає в тому, що топологічний простір схеми $X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X$ відрізняється від добутку топологічних просторів.

Будь-яка афінна схема Spec A відокремлювана, оскільки діагональ відповідає сюр'єктивному відображенню кілець: $A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'$ .

власний морфізм

Відокремлюваний універсально замкнутий морфізм скінченного типу. Морфізм схем f: X → Y називають універсально замкнутим, якщо для будь-якої схеми Z з морфізмом Z → Y проєкція з розшарованого добутку

X\times _{Y}Z\to Z

є замкнутим відображенням топологічних просторів (переводить замкнуті множини в замкнуті).

Г

геометричний рід

Геометричний рід гладкого проєктивного многовиду X розмірності n — це

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(де рівність — це теорема двоїстості Серра.

гладкий

Гладкі морфізми — це багатовимірний аналог етальних морфізмів. Існує кілька різних визначень гладкості. Такі визначення гладкості морфізму f : Y → X еквівалентні:

1) для будь-якої точки y ∈ Y існують відкриті афінні околи V і U точок y, x=f(y), відповідно, такі, що обмеження f на V розкладається в композицію етального морфізму і проекції з n-вимірного проєктивного простору над U.

2) f плоский, локально скінченно подаваний, і для будь-якої геометричної точки

{\bar {y}}

в Y (морфізму з алгебрично замкнутого поля

k({\bar {y}})

в Y), геометричний шар

X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))

є гладким многовидом над

k({\bar {y}})

в сенсі класичної алгебричної геометрії.

Гладка схема над досконалим полем k — це регулярна схема локально скінченного типу.

Схема X над полем k гладка, якщо вона геометрично гладка: схема

X\times _{k}{\overline {k}}

гладка.

група Пікара

Група Пікара X — це група класів ізоморфізму лінійних розшарувань на X, групова операція в якій — тензорний добуток.

Д

домінантний

Морфізм f : X → Y називають домінантним, якщо образ f(X) щільний. Морфізм афінних схем Spec A → Spec B домінантний, якщо і тільки якщо ядро відповідного відображення B → A міститься в нільрадикалі B.

дотичний простір

Див. дотичний простір Зарицького.

дуалізувальний пучок

Когерентний пучок

\omega _{X}

на X, такий що двоїстіость Серра

H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}

має місце для будь-якого когерентного пучка F на X; наприклад, якщо X — гладкий проєктивний многовид, то це - канонічний пучок.

дуже рясний

Лінійне розшарування L на многовиді X дуже рясне, якщо X можна вкласти в проєктивний простір, так що L буде обмеженням скручувального пучка Серра O(1).

Е

етальний: Морфізм f : Y → X етальний, якщо він плоский і нерозгалужений. Існує кілька інших еквівалентних визначень. У разі гладких многовидів $X$ і $Y$ над алгебрично замкнутим полем, етальні морфізми — це морфізми, що індукують ізоморфізм дотичних просторів $df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X$ , що збігається зі звичайним визначенням етальних відображень у диференціальній геометрії.
ефективний дивізор Картьє: Ефективний дивізор Картьє на схемі X над S — це замкнута підсхема X, яка є плоскою над S і пучок ідеалів якої оборотний.

З

замкнутий: Замкнуті підсхеми схеми X будуються за допомогою такої конструкції. Нехай J - квазікогерентний пучок ідеалів. Носій факторпучка ${\mathcal {O}}_{X}/J$ - замкнута підмножина Z в X і $(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})$ - це схема, називана замкнутою підсхемою, визначеною квазікогерентним пучком ідеалів J[1]. Причина того, що визначення замкнутої підсхеми залежить від такої конструкції полягає в тому, що, на відміну від відкритих підмножин, замкнуті підмножини схеми мають не єдину структуру схеми.
зведена схема: Схема, локальні кільця якої не мають ненульових нільпотентів.
зв'язаний: Схема зв'язана, якщо вона зв'язана як топологічний простір. Афінна схема Spec(R) зв'язана, якщо і тільки якщо кільце R не має ідемпотентів, крім 0 і 1.

К

канонічна модель: Канонічна модель — це Proj канонічного кільця (скінченно породженого).
канонічний: Канонічний пучок на нормальному многовиді X розмірності n — це пучок $\omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n}$ диференціальних форм степеня n на підмножині гладких точок $i:U\to X$ .; Канонічний клас $K_{X}$ на нормальному многовиді X — це клас дивізорів, такий, що ${\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}$ .; Канонічний дивізор — це представник канонічного класу $K_{X}$ , який позначають тим самим символом (визначений не однозначно).; Канонічне кільце на нормальному многовиді X — кільце перерізів канонічного пучка.
квазівідокремлюваний: Морфізм f : Y → X називають квазівідокремлюваним, якщо діагональний морфізм Y → Y ×_XY квазікомпактний. Схема Y квазівідокремлювана, якщо морфізм із неї в Spec(Z) квазівідокремлюваний[2].
квазікомпактний морфізм: Морфізм f : Y → X називають квазікомпактним, якщо для деякого (а отже й для будь-якого) відкритого афінного покриття X множинами U_i = Spec B_i, прообрази f⁻¹(U_i) компактні.
квазіскінченний морфізм: Морфізм скінченного типу, який має скінченні шари.
кільце перерізів: Кільце перерізів лінійного розшарування L на схемі X — це градуйоване кільце $\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})$ .

Л

локально нетерова схема: Схема, покрита спектрами нетерових кілець. Якщо спектрів скінченне число, схему називають нетеровою.
локально факторіальна схема: Схема, локальні кільця якої факторіальні.

М

многовид Фано: Гладкий проєктивний многовид, у якого антиканонічний пучок $\omega _{X}^{-1}$ рясний.
многочлен Гільберта: Многочлен Гільберта проєктивної схеми X над полем — це ейлерова характеристика $f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))$ .
морфізм (локально) скінченного типу: Морфізм f : Y → X локально скінченного типу, якщо $X$ можна покрити відкритими афінними підмножинами ${\text{Spec }}B$ , такими, що кожен прообраз $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ можна покрити відкритими афінними підмножинами ${\text{Spec }}A$ де кожне $A$ скінченно породжене як $B$ -алгебра. Морфізм f : Y → X скінченного типу, якщо $X$ можна покрити відкритими афінними підмножинами ${\text{Spec }}B$ , такими, що кожен прообраз $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ можна покрити скінченним числом відкритих афінних підмножин ${\text{Spec }}A$ , де кожне $A$ скінченно породжене як $B$ -алгебра.

Н

незвідна схема

Схему називають незвідною, якщо вона (як топологічний простір), не є об'єднанням двох власних замкнених підмножин.

нерозгалужений морфізм

Для точки

y\in Y

, розглянемо відповідний морфізм локальних кілець

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}

.

Нехай ${\mathfrak {m}}$ — максимальний ідеал ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}$ , і нехай

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

це ідеал, породжений образом ${\mathfrak {m}}$ в ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ . Морфізм $f$ називають нерозгалуженим, якщо він локально скінченного типу і для всіх $y\in Y$ , ${\mathfrak {n}}$ — максимальний ідеал кільця ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ і індуковане відображення

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

є скінченним сепарабельним розширенням полів.

нормальна схема

Цілу схему називають нормальною, якщо її локальні кільця цілозамкнуті.

О

образ

Якщо f : Y → X — морфізм схем, то теоретико-схемний образ f — це однозначно визначена замкнута підсхема i : Z → X, яка задовольняє такій універсальній властивості:

f пропускається через i,
якщо j : Z′ → X — будь-яка замкнута підсхема X, така, що f пропускається через j, то i також пропускається через j.[3]

П

плоский морфізм: Морфізм, що індукує плоскі відображення шарів. Гомоморфізм кілець A → B називають плоским, якщо він робить B плоским A-модулем.
плюрирод: n-й плюрирод гладкого проєктивного многовиду — це $\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})$ .
проєктивний: Проєктивний многовид — це замкнутий підмноговид проєктивного простору.; Проєктивна схема над схемою S — це S-схема, яка пропускається через деякий проєктивний простір $\mathbf {P} _{S}^{N}\to S$ як замкнута підсхема.; Проєктивні морфізми визначають подібно до афінних морфізмів: f : Y → X називають проєктивним, якщо він розкладається в композицію замкнутого вкладення і проєкції проєктивного простору $\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X$ на $X$ .

Р

регулярна схема: Схема, локальні кільця якої — регулярні локальні кільця.
рід: Див. #арифметичний рід, #геометричний рід.
роздуття: Роздуття - це біраціональне перетворення, яке замінює замкнуту підсхему ефективним дивізором Картьє. Точніше, для нетерової схеми X і замкнутої підсхеми $Z\subset X$ , роздуття Z в X - це власний морфізм ${\displaystyle \pi$ , такий, що (1) $\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}$ є ефективним дівізором Картьє, званим винятковим дивізором і (2) $\pi$ - універсальний об'єкт із властивістю (1).
розмірність Кодайри: Розмірність канонічної моделі.
рясний: Рясне лінійне розшарування - це лінійне розшарування, деякий тензорний степінь якого дуже рясний.

С

скінченний морфізм: Морфізм f : Y → X — скінченний, якщо $X$ можна покрити відкритими афінними множинами ${\text{Spec }}B$ , такими, що кожне $f^{-1}({\text{Spec }}B)$ афінне — має вигляд ${\text{Spec }}A$ — і $A$ скінченно породжене як $B$ -модуль.
скінченно подаваний: Якщо y — точка Y, то морфізм f скінченно подаваний в y, якщо існує відкритий афінний окіл U точки f(y) і відкритий афінний окіл V точки y, такий, що f(V) ⊆ U і ${\mathcal {O}}_{Y}(V)$ — скінченно подавана алгебра над ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ (фактор скінченно породженої алгебри за скінченно породженим ідеалом). Морфізм f локально скінченно подаваний, якщо він скінченно подаваний у всіх точках Y. Якщо X локально нетерова, то f локально скінченно подаваний, якщо і тільки якщо він локально скінченного типу[4]. Морфізм f : Y → X скінченно подаваний, якщо він локально скінченно подаваний, квазікомпактний і квазівідокремлюваний. Якщо X локально нетерова, то f скінченно подаваний, якщо і тільки якщо він скінченного типу.
схема: Схема - це локально окільцьований простір, локально ізоморфний спектру комутативного кільця.

Т

точка

Схема

S

— це локально окільцьований простір, і отже топологічний простір, але слово точка $S$ має три значення:

точка $P$ підлеглого топологічного простору;
$T$ -точка $S$ — це морфізм із $T$ в $S$ , для будь-якої схеми $T$ ;
геометрична точка схеми $S$ , визначеної над (з морфізмом у) ${\textrm {Spec}}(K)$ , де $K$ — поле, це морфізм із ${\textrm {Spec}}({\overline {K}})$ в $S$ , де ${\overline {K}}$ — алгебричне замикання $K$ .

Ц

ціла схема: Зведена незвідна схема. Для локально нетерової схеми, бути цілою еквівалентно тому, щоб бути зв'язаною і покритою спектрами областей цілісності

Ш

шар: Для морфізму схем $f:X\to Y$ , шар f над y, як множина, — це прообраз $f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}$ ; він має природну структуру схеми над полем лишків точки y як розшарований добуток $X\times _{Y}\{y\}$ , де $\{y\}$ має природну структуру схеми над Y як спектр поля лишків точки y.

Примітки

Grothendieck & Dieudonné, 1960, 4.1.2 and 4.1.3.
Grothendieck & Dieudonné, 1964, 1.2.1.
The Stacks Project, Chapter 21, § 4.
Grothendieck & Dieudonné, 1960, §1.4.

Література

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М. : Мир, 1981.
Fulton, William (1998). Intersection theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] 2. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-62046-4. MR 1644323.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS 20. MR 0173675. doi:10.1007/bf02684747.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[FOOTNOTEGrothendieck_&_Dieudonné19604.1.2_and_4.1.3-1] Grothendieck & Dieudonné, 1960, 4.1.2 and 4.1.3.

[FOOTNOTEGrothendieck_&_Dieudonné19641.2.1-2] Grothendieck & Dieudonné, 1964, 1.2.1.

[3] The Stacks Project, Chapter 21, § 4.

[FOOTNOTEGrothendieck_&_Dieudonné1960§1.4-4] Grothendieck & Dieudonné, 1960, §1.4.