Спектр кільця

Спектр кільця — множина простих власних ідеалів ${\mathfrak {p}}$ кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр $\mathrm {Specm} (R)\,$ — підпростір простору $\mathrm {Spec} (R)\,$ , що складається із замкнутих точок.

Властивості

Простір $\mathrm {Spec} (R)$ несе пучок локальних кілець ${\mathcal {O}}(\mathrm {Spec} (R))$ , званий структурним пучком. Для точки ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)$ шар пучка ${\mathcal {O}}(\mathrm {Spec} (R))$ над ${\mathfrak {p}}$ — це локалізація $R_{\mathfrak {p}}$ кільця R щодо ${\mathfrak {p}}$ .

Будь-якому гомоморфізму кілець $\varphi :A\rightarrow B$ , що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення $\varphi ^{*}:{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення $\mathrm {Spec} (R/N)\mapsto \mathrm {Spec} (R)$ є гомеоморфізмом топологічних просторів.

Для ненільпотентного елементу $f\in R$ нехай $D(f)=\mathrm {Spec} (R)\setminus V(f)$ , де $V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)|f\in {\mathfrak {p}}\}$ . Тоді простори D(f) і $\mathrm {Spec} (R)_{(f)}$ , де $(R)_{(f)}$ — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору $\mathrm {Spec} (R)$ .
Точка ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)$ замкнута тоді і тільки тоді, коли ${\mathfrak {p}}$ — максимальний ідеал кільця R.

Зіставляючи точці ${\mathfrak {p}}$ її замикання ${\overline {\mathfrak {p}}}$ в $\mathrm {Spec} (R)\,$ , одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору $\mathrm {Spec} (R)\,$ і множиною замкнутих незвідних підмножин в $\mathrm {Spec} (R)\,$ .
Простір $\mathrm {Spec} (R)\,$ є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору $\mathrm {Spec} (R)\,$ називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин $Z_{0}\subset \ldots \subset Z_{n}\subseteq \mathrm {Spec} (R)$ .

Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору $\mathrm {Spec} (R)\,$ . Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли $\mathrm {Spec} (R)\,$ — нетеровий простір; простір $\mathrm {Spec} (R)\,$ є незвідним тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність $\mathrm {Spec} (R)$ збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.
Для кожної підмножини $U\subset \mathop {\mathrm {Spec} } (R)$ яка є одночасно відкритою і замкнутою у топології Зариського існує єдиний ідемпотент $e\in R$ для якого $U=D(e)$ . Таким чином одержується бієкція між підмножинами $U\subset \mathop {\mathrm {Spec} } (R),$ що є одночасно відкритими і замкнутими і ідемпотентами $e\in R$ .
Нехай $\mathop {\mathrm {Spec} } (R)=U\amalg V$ де $U$ і $V$ є відкритими (і, відповідно, також замкнутими) підмножинами. Тоді $R\cong R_{e}\times R_{1-e}$ $e\in R$ для якого $U\cong \mathop {\mathrm {Spec} } (R_{e})$ і $V\cong \mathop {\mathrm {Spec} } (R_{1-e}).$

Див. також

Література

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.