Область цілісності

• Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
• Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$ многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
• Множина дійсних чисел виду ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ є підкільцем поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду ${\displaystyle a+bi}$, де ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ цілі.
• Нехай ${\displaystyle U}$ — зв'язна відкрита підмножина комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Тоді кільце ${\displaystyle H(U)}$ всіх голоморфних функцій ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
• Якщо ${\displaystyle K}$ — комутативне кільце, а ${\displaystyle I}$ — ідеал в ${\displaystyle K}$, то фактор-кільце ${\displaystyle K/I}$ цілісне тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle I}$ — простий ідеал.
• Кільце p-адичних цілих чисел.
• Фактор-кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа ${\displaystyle m=xy}$ (де ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ не є рівними ${\displaystyle 1}$ чи ${\displaystyle m}$). Тоді ${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ і ${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$, але ${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$.
• Коли ціле число ${\displaystyle n}$ є квадратом цілого числа тобто ${\displaystyle n=m^{2}}$, кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)}$ не є областю цілісності. У цьому випадку ${\displaystyle x^{2}-n=(x-m)(x+m)}$ у ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$і образи многочленів ${\displaystyle x-m,\ x+m}$ у фактор-кільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
• Кільце матриць розмірності ${\displaystyle n\times n}$ над довільним ненульовим кільцем для ${\displaystyle n\geq 2}$ не є областю цілісності.
• Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток ${\displaystyle fg}$ є нульовою функцією.

• Тензорний добуток ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ і ${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ добуток яких ${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$.

Нехай ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — елементи цілісного кільця ${\displaystyle K}$. Говорять, що «${\displaystyle a}$ ділить ${\displaystyle b}$» або «${\displaystyle a}$ — дільник ${\displaystyle b}$» (і пишуть ${\displaystyle a\mid b}$), якщо і тільки якщо існує елемент ${\displaystyle x\in K}$ такий, що ${\displaystyle ax=b}$.

Подільність транзитивна: якщо ${\displaystyle a}$ ділить ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle b}$ ділить ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ ділить ${\displaystyle c}$. Якщо ${\displaystyle a}$ ділить ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ ділить також їх суму ${\displaystyle b+c}$ і різниця ${\displaystyle b-c}$.

Для кільця ${\displaystyle K}$ з одиницею елементи ${\displaystyle a\in K}$, які ділять ${\displaystyle 1}$, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ називаються асоційованими, якщо ${\displaystyle a}$ ділить ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle b}$ ділить ${\displaystyle a}$. ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ асоційовані тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a=b*e}$, де ${\displaystyle e}$ — оборотний елемент.

Ненульовий елемент ${\displaystyle q}$, що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент ${\displaystyle p}$ називається простим, якщо з того, що ${\displaystyle p\mid ab}$, слідує ${\displaystyle p\mid a}$ або ${\displaystyle p\mid b}$. Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, проте враховує і негативні прості числа. Якщо ${\displaystyle p}$ — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал ${\displaystyle (p)}$ буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

• Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
  • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
• Якщо ${\displaystyle A}$ — область цілісності, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над ${\displaystyle A}$ також будуть областями цілісності.
• Якщо ${\displaystyle A}$ — комутативне кільце з одиницею і ${\displaystyle I}$ — деякий ідеал ${\displaystyle A}$, то кільце ${\displaystyle A/I}$ є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал ${\displaystyle I}$ є простим.
• У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо ${\displaystyle a\not =0}$, то з рівності ${\displaystyle ab=ac}$ випливає ${\displaystyle b=c}$. Навпаки, якщо для кожного елемента ${\displaystyle a\not =0}$ рівності ${\displaystyle ab=ac}$ випливає ${\displaystyle b=c}$ то комутативне кільце є областю цілісності.
• Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
• Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
• Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
• Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
• Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем.
• Область цілісності ${\displaystyle A}$ є рівною перетину локалізацій ${\displaystyle A_{\mathfrak {m}}}$ по всіх максимальних ідеалах ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Оскільки ${\displaystyle A\subset A_{\mathfrak {m}}}$для всіх максимальних ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, то також ${\displaystyle A\subset \bigcap _{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}.}$

Навпаки нехай ${\displaystyle x\in \bigcap _{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}}$але ${\displaystyle x\not \in A.}$ Множина ${\displaystyle I=\{z\in A\colon zx\in A\}}$ є власним ідеалом у ${\displaystyle A}$ (оскільки ${\displaystyle 1\not \in I}$). Тому ${\displaystyle I}$ міститься у деякому максимальному ідеалі ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. За умовою ${\displaystyle x\subset A_{\mathfrak {m}},}$ тобто можна записати ${\displaystyle x=a/s,\;a\in A,s\not \in {\mathfrak {m}}.}$ Але тоді ${\displaystyle sx=a\in A}$ і тому має бути ${\displaystyle s\in I\subset {\mathfrak {m}}.}$ Одержане протиріччя завершує доведення.

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

• Бондаренко Є.В. (2012). Теорiя кiлець: навчальний посiбник.. Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415