Компактно-відкрита топологія

Нехай ${\displaystyle C(X,Y)}$ — простір неперервних відображень між двома топологічними просторами ${\displaystyle X\to Y}$. Компактно-відкритою топологією на цьому просторі називається топологія передбазу якої утворюють множини відображень виду

${\displaystyle W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},}$

де ${\displaystyle U\subset Y}$ — відкрита множина, а ${\displaystyle K\subset X}$ — компактний простір.

• Якщо * є одноточковим топологічним простором то C(*, Y) можна ідентифікувати із Y. При цій ідентифікації компактно-відкрита топологія співпадає із топологією простору Y.
• Більш загально, якщо X є дискретним простором, то C(X, Y) можна ідентифікувати із добутком |X| копій простору Y і компактно-відкрита топологія є рівною топології добутку.
• Якщо Y є метричним простором (або, більш загально, рівномірним простором), тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології компактної збіжності. Тобто, якщо Y є метричним простором то послідовність { f_n } збігається до  f  у компактно-відкритій топології якщо і тільки якщо для кожної компактної множини K у X, { f_n } рівномірно збігається до  f  на K. Якщо X є компактним простором, а Y — рівномірним простором, тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології рівномірної збіжності.
• Компактно-відкрита топологія широко використовується для таких важливих просторів:
  • ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}}$, простір петель для ${\displaystyle X}$ у точці ${\displaystyle x_{0}}$.
  • ${\displaystyle E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0},\ f(1)=x_{1}\}}$
  • ${\displaystyle E(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}\}}$

• Якщо X є гаусдорфовим простором і S є передбазою простору Y, тоді множини {V(K, U) : U ∈ S, K compact} утворюють передбазу компактно-відкритої топології на C(X, Y).
• Якщо Z є підпростором Y (із індукованою топологією), то компактно-відкрита топологія на C(X, Z) є індукованою топологією від компактно-відкритої топології на просторі C(X, Y).
• Якщо простір Y задовольняє аксіоми T₀, T₁, є гаусдорфовим, регулярним чи цілком регулярним то такі ж властивості має і компактно відкрита топологія на просторі C(X, Y).
• Якщо X, Y, A і B є топологічними просторами, f : A → X і g : Y → B — неперервні відображення, то можна задати відображення g^f : C(X, Y) → C(A, B) як g^f (k) = g ∘ k ∘ f. Дане відображення є неперервним, якщо на C(X, Y) і C(A, B) задано компактно-відкриті топології.

Нехай ${\displaystyle W_{K,U}}$ є елементом передбази простору C(A, B), де де ${\displaystyle U\subset B}$ — відкрита множина, а ${\displaystyle K\subset A}$ — компактний простір. Тоді

${\displaystyle \left(g^{f}\right)^{-1}(W_{K,U})=\{k\in C(X,Y)\ |\ g\circ k\circ f(K)\subset U\}=\{k\in C(X,Y)\ |\ k\circ f(K)\subset g^{-1}(U)\}.}$ Але f (K) є компактною множиною у X, а g^-1 (U) 'відкритою множиною у Y. Тому ${\displaystyle \left(g^{f}\right)^{-1}(W_{K,U})=W_{f(K),g^{-1}(U)}.}$ Тобто прообрази елементів передбази простору C(A, B) є відкритими підмножинами у C(X, Y) і g^f є неперервним відображенням.

• У позначеннях попередньої властивості, якщо h : C → A і j : B → D є ще двома неперервними відображеннями, то (j^h) ∘ (g^f) = (j ∘ g)^{f ∘ h}.
• Якщо f, f'  : A → X є парою гомотопно еквівалентних відображень і g, g'  : Y → B також є парою гомотопно еквівалентних відображень, тоді g^f і g' ^f' є гомотопно еквівалентними.
• Якщо X, Y і Z є топологічними просторами і Y є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z), задане як ( f , g) ↦  f  ∘ g, є неперервним (на всіх функційних просторах задана компактно-відкрита топологія, а на C(Y, Z) × C(X, Y) — топологія добутку).
• Як частковий випадок попередньої властивості, якщо Y є локально компактним і гаусдорфовим, тоді відображення обчислення e : C(Y, Z) × Y → Z, задане як e( f , x) =  f (x), є неперервним. Ця властивість зводиться до попередньої, якщо за X взяти одноточковий простір.
• Якщо X, Y і Z є топологічними просторами і відображення f : X × Y → Z є неперервним, то і відображення F : Y → C(X, Z) задане як (F(y))(x) = f (x, y) є неперервним (для компактно-відкритої топології на C(X, Z)). Якщо додатково простір X є локально компактним і гаусдорфовим, то правильним буде і обернене твердження, тобто із неперервності F випливає неперервність f. У цьому випадку одержується бієкція між C(X × Y, Z) і C(Y, C(X, Z)) яка є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів із компактно-відкритими топологіями.
• Якщо X є компактним простором і Y — метричним простором і з метрикою d, то компактно-відкрита топологія на C(X, Y) є метризовною із метрикою заданою як e( f , g) = sup{d( f (x), g(x)) : x ∈ X}, для  f , g ∈ C(X, Y).

• Простір петель
• Рівномірна збіжність

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.