Коефіцієнт Джині

Графічне представлення коефіціє́нту Джи́ні

Коефіцієнт Джині найпростіше визначити за допомогою кривої Лоренца, що зображує частку величини y, що зосереджується на x% популяції з найменшим значенням цієї величини. Наприклад для розподілу доходів точка (20%, 10%) буде лежати на кривій Лоренца, якщо сукупний дохід двадцяти відсотків найбідніших домогосподарств рівний десяти відсоткам сукупного доходу усіх домогосподарств. Коефіцієнт Джині рівний відношенню площі області утвореної кривою Лоренца і прямою повної рівності (прямою під кутом 45°) до площі трикутника утвореного прямою повної рівності і прямими y = 0 x = 1. На малюнку перша область позначена сірим кольором, трикутник є об'єднанням фігур сірого і синього кольорів. Якщо позначити площі відповідних фігур 'A' і 'B' то можна записати формулу G=A/(A+B). Оскільки A+B = 0,5 то також справедлива формула G = 2· A = 1 — 2 · B.

Якщо весь дохід є рівномірно розподілений, то крива Лоренца збігається з прямою повної рівності і значення коефіцієнта Джині рівне нулю.

Якщо крива Лоренца задана у виді функції Y = L(X), то користуючись формулою G = 1 — 2 · B і визначенням площі фігури через інтеграл можна записати:

${\displaystyle G=1-2\,\int _{0}^{1}L(X)dX.}$

В багатьох випадках можна обчислити коефіцієнт Джині без прямого визначення кривої Лоренца. Наприклад якщо для деякої генеральної сукупності елементів відомі значення величини y_i, i = 1 to n, причому (y_i ≤ y_i+1) то для обчислення коефіцієнта Джині можна використати формулу:

${\displaystyle G={\frac {1}{n}}\left(n+1-2\left({\frac {\Sigma _{i=1}^{n}\;(n+1-i)y_{i}}{\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right)}$

Або простіше:

${\displaystyle G={\frac {2\Sigma _{i=1}^{n}\;iy_{i}}{n\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}}}-{\frac {n+1}{n}}}$

• Для дискретного розподілу з функцією ймовірностей f(y), де y_i, i = 1 до n — точки з ненульовою ймовірністю, такі що (y_i < y_i+1) індекс Джині можна визначити за формулою:

${\displaystyle G=1-{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}\;f(y_{i})(S_{i-1}+S_{i})}{S_{n}}}}$

де

${\displaystyle S_{i}=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j})\,y_{j}\,}$ and ${\displaystyle S_{0}=0\,}$

• Для неперервного розподілу з кусково-диференційовною функцією розподілу F(y) рівною нулю для від'ємних значень, і скінченним середнім значенням μ коефіцієнт Джині рівний:

${\displaystyle G=1-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}dy={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }F(y)(1-F(y))dy}$

Часто проте точний вид кривої Лоренца не є відомим і доступною є лише інформація про частку Y_k розподілу величини Y для частки X_k значень з найменшими значеннями змінної Y. Наприклад відомо загальна частка сукупного доходу для 10% найбідніших господарств, 20% найбідніших господарств і т. д. Тоді коефіцієнт Джині можна наближено обчислити за формулою Брауна:

${\displaystyle G=1-\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1}).}$

Європейська статистична організація Євростат публікує щороку коефіцієнт Джині для кожної країни-члена ЄС. Наступна таблиця показує рейтинг станом на 2014 рік[2].

Організація розвитку ООН ПРООН публікує огляди розподілу доходів у більшості країн світу (де дані надходять від Світового банку). Наступна таблиця є джерелом видання Організації Об'єднаних Націй в 2005 році (дані з окремих країн наведені в період 1993-2002 рр)

• Крива Лоренца
• Індекс Робіна Гуда

• Рождєственська Л. Г. Статистика ринку товарів і послуг: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 419 с. ISBN 966-574-691-Х
• Ха-Юн Чанґ. Економіка. Інструкція з використання: Пер. з англ. - К. Наш Формат, 2016. - 400с. - іл. ISBN 978-617-7279-42-5