Кільце Зариського

Кільце Нетер R називається кільцем Зариського щодо ідеалу R в R, якщо R є топологічним кільцем для якого степені ідеалу Iⁿ утворюють базу околів нуля і I є підмножиною радикалу Джекобсона кільця R.

Якщо R є кільцем Зариського щодо ідеалу I то воно є кільцем Зариського щодо будь-якого ідеалу, який має той же радикал, що і I.

Топологія кільця Зариського завжди є гаусдорфовою.

• Нетерове локальне кільце щодо свого максимального ідеалу.
• Нетерове кільце R, що має лише скінченну кількість максимальних ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, щодо їх перетину. Таке кільце називається напівлокальним.
• Нетерове кільце R, що є повним гаусдорфовим простором у своїй I-топології. Дійсно, будь-який елемент ${\displaystyle 1-m\ (m\in I)}$ множини ${\displaystyle 1+I}$ є оборотним, оскільки елемент ${\displaystyle 1+m+m^{2}+\ldots +m^{n}+\ldots }$ є для нього оберненим. Зокрема, якщо R — кільце нетер і I — ідеал в R, такий, що R є гаусдорфовим простором у своїй I-топології, то його поповнення ${\displaystyle {\hat {R}}}$ є кільцем Зариського, оскільки воно теж є нетеровим.
• Фактор-кільце R/J кільця Зариського є кільцем Зариського щодо ідеалу (I + J)/J.

Нехай R — топологічне нетерове кільце, топологія якого породжена ідеалом I. Тоді еквівалентними є такі твердження, які можна використати в означенні кільця Зариського:

• Ідеал I міститься в радикалі Джекобсона (перетині всіх максимальних ідеалів) кільця R.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля E і його підмодуля F, підмодуль F є замкнутим щодо I-топології в E, тобто ${\displaystyle F=\bigcap _{n=1}^{\infty }(F+I^{n}E).}$
• Кільце R є гаусдорфовим простором в своїй топології, і для кожного скінченнопородженого R-модуля E і його підмодуля F виконується рівність ${\displaystyle F={\hat {A}}F\cap E.}$
• Кожен скінченнопороджений R-модуль E (зокрема, саме кільце R) є гаусдорфовим простором у своїй топології.
• Кожен ідеал в R є замкнутою множиною у топології кільця R.
• Кожен елемент із множини 1 + I є оборотним в R.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля E із рівності IE = E випливає E = 0.

Окрім того для кілець Зариського виконуються такі властивості

• Нехай R — кільце Зариського щодо ідеалу I. Для того щоб кільце R було напівлокальним необхідно і достатньо, щоб фактор-кільце R/I було кільцем Артіна. Для того щоб кільце R було локальним необхідно і достатньо щоб додатково у кільці R/I був єдиний простий ідеал.
• Нехай R — кільце Зариського щодо ідеалу I. Якщо f — лінійне відображення деякого R-модуля E в R-модуль F, то f є рівномірно неперервним щодо I-топологій, тому що ${\displaystyle f(I^{n}E)\subset I^{n}F.}$ Тому, f можна єдиним способом продовжити до неперервного відображення ${\displaystyle {\hat {f}}}$ між поповненнями ${\displaystyle {\hat {E}}}$ і ${\displaystyle {\hat {F}}}$. Відображення ${\displaystyle {\hat {f}}}$ є ${\displaystyle {\hat {R}}}$-лінійним.
• Нехай R — кільце Зариського і ${\displaystyle E\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;F\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;G}$ — точна послідовність скінченнопороджених R-модулів і R-лінійних відображень. Тоді послідовність ${\displaystyle {\hat {E}}\;{\xrightarrow {\ {\hat {f}}\ }}\;F\;{\xrightarrow {\ {\hat {g}}\ }}\;G}$ є точною.

• Поповнення (комутативна алгебра)

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 2. — 438 с.(рос.)
• Samuel, Pierre (1953). Algèbre locale. Mémor. Sci. Math. 123. Paris: Gauthier-Villars. MR 0054995.
• Zariski, Oscar (1946). Generalized semi-local rings. Summa Brasil. Math. 1 (8): 169–195. MR 0022835.