Локальне кільце

Локальне кільце — кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R — комутативне локальне кільце з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ , то фактор-кільце $R/{\mathfrak {m}}$ є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Означення

кільце R (асоціативне з одиницею) називається локальним кільцем якщо воно задовольняє одній із еквівалентних умов:

R має єдиний максимальний лівий ідеал.
R має єдиний максимальний правий ідеал.
1 ≠ 0 і сума двох необоротних елементів у R є необоротним елементом.
1 ≠ 0 і для довільного елемента x або x або 1 − x є оборотним елементом.
Якщо скінченна сума є оборотним елементом, то хоча б один із доданків є оборотним елементом (звідси зокрема 1 ≠ 0).

При виконанні цих умов єдиний максимальний правий ідеал є рівним єдиному максимальному лівому і є рівним радикалу Джекобсона. Для комутативних кілець поняття лівих і правих ідеалів не відрізняються.

Приклади

Будь-яке поле або кільце нормування є локальним.
Локальним є також кільце формальних степеневих рядів $k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ над полем k або над будь-яким локальним кільцем. Навпаки, кільце многочленів $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ не є локальним кільцем.

Нехай X — топологічний простір (диференційовний многовид, аналітичний простір, або алгебраїчний многовид), а x — точка в X. Нехай R — кільце ростків в точці x неперервних функцій (відповідно диференційовних, аналітичних або регулярних функцій); тоді R — локальне кільце, максимальний ідеал якого складається з ростків функцій, що приймають значення 0 в точці x.

Локалізація

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізація.

Нехай R — комутативне кільце, а ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал в R. Кільце $R_{\mathfrak {p}}$ , яке складається з дробів виду ${\frac {r}{s}}$ , де $r\in R,s\in R\setminus {\mathfrak {p}}$ , є локальним і називається локалізацією кільця R в ${\mathfrak {p}}$ . Максимальним ідеалом кільця $R_{\mathfrak {p}}$ є ідеал ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ , а поле лишків $R_{\mathfrak {p}}$ ототожнюється з полем часток фактор-кільця $R/{\mathfrak {p}},$ що є областю цілісності.

Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу.

Властивості

Властивість комутативного кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець $R_{\mathfrak {p}}$ (відповідно модулів $M\bigotimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$ або алгебри $B\bigotimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$ ) для всіх простих ідеалів ${\mathfrak {p}}$ кільця R.

Степені ${\mathfrak {m}}^{n}$ максимального ідеалу ${\mathfrak {m}}$ комутативного локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або ${\mathfrak {m}}$ -адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є гаусдорфовою (теорема Круля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Будь-яке фактор-кільце локального кільця також є локальним.

Будь-який проективний модуль над локальним кільцем є вільним.

Кільця Нетер

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця.

Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо ${\mathfrak {m}}$ -адичної топології; в цьому випадку $R=\lim R/{\mathfrak {m}}^{n}$ . У повному локальному кільці ${\mathfrak {m}}$ -адична топологія є слабшою за будь-яку іншу гаусдорфову топологію (теорема Шевалле).
Будь-яке повне локальне кільце є фактор-кільцем кільця $S[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

Тонше, кількісне дослідження локального кільця R пов'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця $Gr(R)=\bigoplus _{n\geqslant 0}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})$ . Нехай $H_{R}(n)$ — розмірність векторного простору ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ над полем лишків $R/{\mathfrak {m}}$ ; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом ${\bar {H}}_{R}(n)$ від n, який називається многочленом Гільберта — Самюеля локального кільця R.
Формальний ряд

P_{R}(t)=\sum _{n\geqslant 0}H_{R}(n)\cdot t^{n}

є раціональною функцією вигляду $f(t)(1-t)^{-d(R)}$ де $f(t)\in \mathbb {Z} [t]$ — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню ${\bar {H}}_{R}$ .

Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця.
d(R) є рівним найменшому числу елементів $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ , для яких фактор-кільце $R/(r_{1},\ldots ,r_{d})$ є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал ${\mathfrak {m}}$ , то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем.
Регулярність R еквівалентна тому, що $dim({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})=dimR$ .
Для d-вимірного регулярного кільця R

H_{R}(n)={{n+d-1} \choose {d-1}}

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Див. також

Посилання

Regular Local Rings.

Література

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 2. — 438 с.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.