Поповнення (комутативна алгебра)

Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.

Нехай ${\displaystyle A}$ кільце і ${\displaystyle I}$ ідеал. Позначимо ${\displaystyle A^{\mathbb {N} }=\prod _{n\in \mathbb {N} }A}$

Послідовність ${\displaystyle (a_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}=(a_{0},a_{1},\dots )}$ називається нульовою, якщо для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ існує число ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, таке що ${\displaystyle \forall i>k:a_{i}\in I^{n}}$

Позначимо ${\displaystyle \mathrm {NF} }$ ідеал всіх нульових послідовностей.

Послідовність ${\displaystyle (a_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}}$ називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ існує число ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, таке що:

${\displaystyle \forall i,j>k:(a_{i}-a_{j})\in I^{n}}$

Позначимо ${\displaystyle \mathrm {CF} }$ кільце всіх фундаментальних послідовностей.

Фактор-кільце ${\displaystyle {\hat {A}}_{I}:=\mathrm {CF} /\mathrm {NF} }$ називається поповненням ${\displaystyle A}$ за ${\displaystyle I}$.

Якщо ${\displaystyle a\in A}$ то послідовність ${\displaystyle (a,a,a\dots )}$ є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм

${\displaystyle f\colon A\to {\hat {A}}}$

${\displaystyle f\colon a\mapsto (a,a,\dots ).}$

Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:

${\displaystyle \bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=\{0\}}$

Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).

Кільце називається повним (по відношенню до ${\displaystyle I}$), якщо ${\displaystyle f}$ є ізоморфізмом.

Фільтрацією модуля ${\displaystyle M}$ над кільцем ${\displaystyle A}$ називається послідовність ${\displaystyle (M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ така, що:

${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset ...\supset M_{i}\supset }$

Найважливішим частковим випадком є послідовність ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$ для деякого ідеала ${\displaystyle I}$. Ця фільтрація називається ${\displaystyle I}$-адичною.

Ввівши модуль послідовностей ${\displaystyle M^{\mathbb {N} }}$ і використовуючи ${\displaystyle M_{n}}$ замість ${\displaystyle I_{n}}$ можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля

${\displaystyle {\hat {M}}=CF/NF}$ щодо фільтрації чи, в окремому випадку ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$ щодо ідеала ${\displaystyle I}$.

Модуль ${\displaystyle M}$ називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:

${\displaystyle f\colon M\to {\hat {M}}}$ є ізоморфізмом.

Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай ${\displaystyle A}$ кільце і ${\displaystyle I}$ ідеал. Тоді на ${\displaystyle A}$ можна задати псевдометрику:

${\displaystyle \mathrm {d} _{I}(x,y)=\mathrm {inf} \{2^{-i}|x-y\in I^{i}\}\ ({\text{ mit }}I^{0}:=A)}$

Якщо до того ж виконується:

${\displaystyle \bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=\emptyset ,}$

то функція ${\displaystyle \mathrm {d} _{I}}$ є метрикою, тобто додатково

${\displaystyle \mathrm {d} _{I}(x,y)=0\Rightarrow x=y.}$

До метричного простору ${\displaystyle (A,\mathrm {d} _{I})}$ можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.

Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними ${\displaystyle (A_{i},f_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}}$ де гомоморфізми визначені як

${\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}.}$

Проективною границею цієї системи називається кільце:

${\displaystyle \lim _{\longleftarrow }(A_{n},f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:={\biggl \{}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}{\biggl |}x_{n}\in A_{n},f_{n}(x_{n})=x_{n-1}{\biggl \}}}$

Якщо тепер ${\displaystyle I\subset A}$ ідеал і позначивши

${\displaystyle A_{i}=A/I^{i}}$

${\displaystyle A_{0}=0}$

${\displaystyle f_{i+1}\colon A_{i+1}\to A_{i}}$ — природний гомоморфізм кільця ${\displaystyle A_{i+1}}$ у його фактор-кільце ${\displaystyle A_{i}=A_{i+1}/(I^{n+1}/I^{n})}$,

отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:

${\displaystyle {\hat {A}}_{I}\cong \lim _{\longleftarrow }(A_{n},f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Якщо ${\displaystyle A}$ є кільцем многочленів ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ над полем ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle I}$ ідеал породжений елементами ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

Поповнення кільця ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ за ідеалом ${\displaystyle I}$ є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів ${\displaystyle K[[X_{1},\dots ,X_{n}]].}$

р-адичні числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ є поповненням поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ щодо ${\displaystyle p}$-адичної метрики ${\displaystyle d_{p}}$ (де ${\displaystyle p}$ — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle r}$ маємо

${\displaystyle q-r=\pm \ p^{i}\cdot {\dfrac {s}{t}}}$

де ${\displaystyle s,t\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ і ${\displaystyle p}$ не ділить жодне з чисел ${\displaystyle s,t}$ Тоді

${\displaystyle d_{p}(q-r)=p^{-i}}$

Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо ${\displaystyle p}$-адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу ${\displaystyle (p)}$. Таким чином, ми отримуємо вкладення:

${\displaystyle f\colon {\widehat {\mathbb {Z} }}_{p}\hookrightarrow \mathbb {Q} _{p}}$.

Тут, ліва сторона позначає поповнення ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ за ${\displaystyle (p)}$. Це вкладення задає ізоморфізм ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} _{p}}}\cong \mathbb {Z} _{p}}$ з кільцем ${\displaystyle p}$-адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу ${\displaystyle (p)}$.

Графік кривої ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$ в дійсній афінній площині

Нехай ${\displaystyle X}$ плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$

У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою ${\displaystyle 0=xy}$. Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом ${\displaystyle {\hat {A}}\cong {\hat {B}}}$ де

${\displaystyle A:=K[[x,y]]/(y^{2}-x^{2}-x^{3})_{({\bar {x}},{\bar {y}})}}$

і

${\displaystyle B:=K[[x,y]]/(xy)_{({\bar {x}},{\bar {y}})}}$

Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.

Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.