Модель Воттса — Строгаца

Формальне вивчення випадкових графів датується роботою Пала Ердеша та Альфреда Реньї[2]. Графи, які вони розглядали, тепер відомі як класичні графи або модель Ердеша — Реньї, пропонують просту та потужну модель з багатьма додатками.

Проте модель Ердеша — Реньї не має двох важливих властивостей, що спостерігаються в багатьох реальних мережах:

1. Вони не генерують місцеві кластери та тріадичні замикання. Натомість, оскільки вони мають постійну, випадкову та незалежну ймовірність підключення двох вузлів, модель Ердеша — Реньї має низький коефіцієнт кластеризації.
2. Вони не враховують утворення вузлів. Формально ступінь вершини розподілу графа Ердеша-Реньї сходиться до розподілу Пуассона, а не до закону потужності, що спостерігається в багатьох реальних безмасштабних мережах.[3]

Модель Ердеша — Реньї була спроектована як найпростіша модель, яка стосується першого з двох обмежень. Це припускає кластеризацію, зберігаючи короткі довжини шляху моделі Ердеша-Реньї. Це відбувається шляхом інтерполяції між ЕР-графіком і регулярною кільцевою решіткою. Отже, модель здатна принаймні частково пояснити «малі світові» явища в різних мережах, таких як енергетична мережа, нейронна мережа C elegans та мережа кіноакторів. У 2015 році дослідники з Каліфорнійського технологічного інституту та Принстонського університету показали, що модель Воттса-Строгаца пояснює зв'язок жирового обміну в дріжджах[4], що починають жити.

Watts–Strogatz graph

Враховуючи бажану кількість вузлів ${\displaystyle N}$, означає ступінь ${\displaystyle K}$ (вважається рівним цілим числом) і спеціальний параметр ${\displaystyle \beta }$, що задовольняє (${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$ i ${\displaystyle N\gg K\gg \ln N\gg 1}$. Модель конструює неорієнтований граф з ${\displaystyle N}$-вузлами та ${\displaystyle {\frac {NK}{2}}}$ зв'язками за таким чином:

1. Побудуйте правильну кільцеву решітку, графік з ${\displaystyle N}$ вузлами, кожен з яких з'єднаний з ${\displaystyle K}$ сусідніми, ${\displaystyle K/2}$ з кожного боку. Тобто, якщо вузли позначені ${\displaystyle n_{0}\ldots n_{N-1}}$, є ребро ${\displaystyle (n_{i},n_{j})}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle 0<|i-j|\mod \left(N-1-{\frac {K}{2}}\right)\leq {\frac {K}{2}}.}$
2. Для кожного вузла ${\displaystyle n_{i}=n_{0},\dots ,n_{N-1}}$, ${\displaystyle (n_{i},n_{j})}$ з ${\displaystyle i<j}$, перемотати його з ймовірністю ${\displaystyle \beta }$ бета-версія. Перемотування здійснюється шляхом заміни ${\displaystyle (n_{i},n_{j})}$ з ${\displaystyle (n_{i},n_{k})}$, де ${\displaystyle k}$ вибирається з рівномірною ймовірністю з усіх можливих значень, які уникають самоплетіння (${\displaystyle k\neq i}$) та дублювання посилань (немає краю ${\displaystyle (n_{i},n_{k'})}$ з ${\displaystyle k'=k}$ в цій точці алгоритму).

Основна решітка структури моделі створює локально кластеризовану мережу, а випадкові зв'язки різко зменшують середню довжину шляху. Алгоритм представляє ${\displaystyle \beta {\frac {NK}{2}}}$ решітчастих країв. Різні ${\displaystyle \beta }$ дозволяє інтерполювати між регулярною ґраткою (${\displaystyle \beta =0}$) і випадковим графіком (${\displaystyle \beta =1}$) наближаючись до випадкового графа Ердеша-Реньї ${\displaystyle G(n,p)}$ з ${\displaystyle n=N}$ і ${\displaystyle p={\frac {NK}{2{N \choose 2}}}}$.

Три цікаві властивості — це середня довжина шляху, високий коефіцієнт кластеризації та розподіл ступеня.

Для кільцевої решітки середня довжина шляху становить ${\displaystyle \ell (0)=N/2K\gg 1}$ і масштабується лінійно з розміром системи. У граничному випадку ${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$ граф сходиться до класичного випадкового графа з ${\displaystyle \ell (1)={\frac {\ln N}{\ln K}}}$. Проте в проміжній області ${\displaystyle 0<\beta <1}$ середня довжина шляху падає дуже швидко з збільшенням ${\displaystyle \beta }$, швидко наближаючись до його граничного значення.

Для кільцевої решітки коефіцієнт кластеризації[5] ${\displaystyle C(0)={\frac {3(K-2)}{4(K-1)}}}$, і тому має тенденцію до ${\displaystyle 3/4}$, оскільки ${\displaystyle K}$ зростає незалежно від розміру системи.[6] У граничному випадку ${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$ коефіцієнт кластеризації досягає значення для класичних випадкових графів ${\displaystyle C(1)=K/N}$ і, таким чином, обернено пропорційний розміру системи. У проміжному регіоні коефіцієнт кластеризації залишається досить близьким до його значення для звичайної решітки і лише падає при відносно високому (\ displaystyle \ beta) \ beta. Це призводить до регіону, де середня довжина шляху швидко падає, але коефіцієнт кластеризації не пояснюється явищем «малого світу».

Якщо ми використовуємо міру Barrat і Weigt[6] для кластеризації ${\displaystyle C'(\beta )}$, визначеної як частка між середньою кількістю ребер між сусідами вузла та середньою кількістю можливі краї між цими сусідами або, альтернативно,

${\displaystyle C'(\beta )\equiv {\frac {3\times {\text{number of triangles}}}{\text{number of connected triples}}}}$

то ми отримаємо ${\displaystyle C'(\beta )\sim C(0)(1-\beta )^{3}.}$

Розподіл ступенів у випадку кільцевої решітки є просто дельта-функцією Дірака, центрованою в ${\displaystyle K}$. У граничному випадку ${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$ це розподіл Пуассона, як з класичними графіками. Розподіл ступенів для ${\displaystyle 0<\beta <1}$ можна записати як,[6]

${\displaystyle P(k)=\sum _{n=0}^{f(k,K)}C_{K/2}^{n}(1-\beta )^{n}\beta ^{K/2-n}{\frac {(\beta K/2)^{k-K/2-n}}{(k-K/2-n)!}}e^{-\beta K/2}}$

де ${\displaystyle k_{i}}$ — це кількість ребер, які мають вузол ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ або її ступінь. Тут ${\displaystyle k\geq K/2}$ та ${\displaystyle f(k,K)=\min(k-K/2,K/2)}$. Форма розподілу ступенів аналогічна розподілу ступеня і має яскраво виражений пік при ${\displaystyle k=K}$ і розпадається експоненціально для великих ${\displaystyle |k-K|}$. Топологія мережі є відносно однорідною, і всі вузли більш-менш однакові.

Основним обмеженням моделі є те, що він виробляє нереальний ступінь вершини. На відміну від цього, реальні мережі часто безмаштабнi мережі, неоднорідні в ступені, мають концентратори та безмаштабний розподіл ступенів. Такі мережі краще описуються в цьому відношенні переважним сімейством моделей приєднання, такими як модель Барабаші-Альберта (БА). (З іншого боку, модель Барабаші-Альберт не здатна забезпечити високий рівень кластеризації в реальних мережах, це недолік, який не використовується моделями Воттса-Строгаца. Таким чином, ні модель Воттса-Строгаца, ні модель Барабаші-Альберт не можна вважати цілком реалістичними.)

Модель Воттса-Строгаца також передбачає фіксовану кількість вузлів і, таким чином, не може бути використана для моделювання зростання мережі.

• Світ тісний (граф)
• Граф Радо
• Модель Ердеша — Реньї
• Модель Барабаші — Альберт
• Соціальна мережа