Мультиплікативна група кільця лишків за модулем n

Будь-які два цілих числа рівні за модулем 1, тобто існує лише один клас рівності. Кожне ціле взаємно просте до 1. Отже єдиний клас рівності за модулем 1 взаємно простий із модулем, так ${\displaystyle (\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{1}}$ тривіально. Отримуємо, що φ(1) = 1. Через те, що перший степінь будь-якого цілого числа рівний 1 за модулем 1, λ(1) також 1.

Через свою простоту, випадок рівності за модулем 1 зазвичай опускають. Наприклад, теорема «${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ циклічна тоді і тільки тоді, коли φ(n) = λ(n)» неявно містить випадок n = 1, тоді як твердження теореми Ґауса «${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ тоді і тоді, коли n = 2, 4, будь-який степінь непарного простого числа або двічі будь-який степінь простого числа,» явно виключає 1.

За модулем 2 є лише один клас взаємної рівності, 1, отже ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{1}}$ — тривіальна група (з одним елементом).

За модулем 4 є два взаємно прості класи рівності, 1 і 3, отже ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2},}$ циклічна група з двома елементами.

За модулем 8 є чотири взаємно прості класи, 1, 3, 5 і 7. Квадрат кожного з них дорівнює 1, отже ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2},}$ 4-група Клейна.

За модулем 16, присутні вісім взаємно простих класів 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 і 15. ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong C_{2}\times C_{2},}$ — підгрупа 2-кручення (тобто квадрат кожного елемента дорівнює 1), отже ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}$ не циклічна. Степені числа 3 утворюють ${\displaystyle \{1,3,9,11\}}$ — підгрупа порядку 4, як і степені 5, ${\displaystyle \{1,5,9,13\}.}$   Таким чином ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{4}.}$

Властивості, що показали приклади з 8 і 16 зберігаються[1] для вищих степенів 2^k, k > 2: ${\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong C_{2}\times C_{2},}$ — підгрупа 2-кручення (тому ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}$ не циклічна) і степені 3 це підгрупи порядку 2^{k − 2}, отже ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2^{k-2}}.}$

Для степенів непарних простих чисел p^k група циклічна:[2]

${\displaystyle \;\;(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{p^{k-1}(p-1)}\cong C_{\varphi (p^{k})}.}$

Китайська теорема про залишки стверджує, що [3] якщо ${\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;}$ тоді кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ є прямим добутком кілець відповідно до степенів простих множників числа:

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}$

Подібно, група оборотних елементів ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ є прямим добутком відповідно до степеня простого множника:

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}$

Порядок отримуємо через функцію Ейлера: ${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).}$ Це добуток порядків циклічних груп у прямому добутку.

Експонента отримується функцією Кармайкла ${\displaystyle \lambda (n),}$ — найменше спільне кратне порядків циклічних груп. Тобто, для заданого n, ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}},}$ для будь-якого a взаємно простого до n і ${\displaystyle \lambda (n)}$ — найменше таке число.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ циклічна тоді і тільки тоді, якщо ${\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n).}$ Це випадок коли n це 2, 4, p^k або 2p^k, де p непарне просте і k > 0. для всіх інших значень n (окрім 1) група не циклічна.[4][5] Єдиний породжувач в циклічному випадку називається первісний корінь за модулем n.

З того, що всі ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$ n ≤ 7 циклічні, інакше можна це сказати так: Якщо n < 8 тоді ${\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ має первісний корінь. Якщо n ≥ 8 тоді ${\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ має первіісний корінь якщо тільки n не ділиться на 4 або на два відмінних простих числа.

В загальному випадку існує лише один породжувач для кожного циклічного прямого множника.