Степінь простого числа

• Кожен степінь простого числа ділиться тільки на одне просте число.
• Щільність розподілу степенів простих чисел асимптотично еквівалентна ${\displaystyle \pi (x)}$ — щільності простих чисел з точністю до ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$.
• Будь-який степінь простого числа (за винятком степеня 2) має первісний корінь. Так, мультиплікативна група цілих чисел за модулем ${\displaystyle p^{n}}$ (або, що еквівалентно, група одиниць кільця Z/ ${\displaystyle p^{n}}$Z) є циклічною.
• Число елементів скінченного поля завжди є степенем простого числа і навпаки, будь-який степінь простого числа є числом елементів деякого скінченного поля (єдиного з точністю до ізоморфізму).

Властивість степеня простого числа, що часто використовується в аналітичній теорії чисел, — множина степенів простих чисел, що не є простими, є малою в тому сенсі, що нескінченна сума обернених до них величин збіжна, хоча множина простих чисел є великою множиною.

Функція Ейлера (${\displaystyle \phi }$) і сигма-функції (${\displaystyle \sigma _{0}}$) і (${\displaystyle \sigma _{1}}$) від степеня простого числа можна обчислити за формулами:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Всі степені простих чисел є недостатніми числами. Степінь простого ${\displaystyle p^{n}}$ є n-майже простим. Невідомо, чи можуть степені простих чисел ${\displaystyle p^{n}}$ бути дружніми числами. Якщо такі числа існують, то ${\displaystyle p^{n}}$ повинно бути понад ${\displaystyle {10}^{1500}}$ і n повинен бути понад 1400.