Редуковане кільце

Нехай ${\displaystyle R}$ — кільце. Воно називається редукованим якщо для кожного ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle r^{n}=0\Leftrightarrow r=0}$

Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати, що кільце є редукованим, якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом:

${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$

• Еквівалентно, кільце є редукованим якщо для всіх ${\displaystyle r\in R}$:

${\displaystyle r^{2}=0\Leftrightarrow r=0}$

• Кільце цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими.
• Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем.
• Для будь-якого комутативного кільця R, кільце ${\displaystyle R/{\sqrt {(0)}}}$ є редукованим. Більш загально кільце ${\displaystyle R/I}$ є редукованим тоді і тільки тоді, коли ідеал I є радикальним, тобто ${\displaystyle I={\sqrt {I}}}$.
• Кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$ містить ненульовий нільпотентний елемент ${\displaystyle 2}$ і тому не є редукованим. Натомість кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} /6}$ є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце, що не є областю цілісності. В загальному випадку ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ є редукованим тоді і тільки тоді, коли n = 0 або n є натуральним числом вільним від квадратів.
• Кільце ${\displaystyle K[X]/(X^{2})}$ не є редукованим, оскільки ненульовий елемент ${\displaystyle X}$ є нільпотентним.
• Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими. Наприклад для матриць порядку 2 над будь-яким кільцем з одиницею ${\displaystyle \left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right).}$
• Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді, коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним.

• Будь-яке редуковане кільце є напівпростим (тобто з того, що J^k = {0} для деякого ідеалу J випливає, що J = {0}). Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними. Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими.

Зокрема, як описано в прикладах, кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим. Натомість двосторонні ідеали кільця ${\displaystyle M_{n}(R)}$ мають вид ${\displaystyle M_{n}(I),}$ де I — двосторонній ідеал кільця R[1], а тому якщо ${\displaystyle M_{n}(I)M_{n}(I)=0}$ то і II = 0. У випадку напівпростого кільця звідси I = 0 і тому ${\displaystyle M_{n}(I)=0.}$ Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими.

• Підкільця, добутки, локалізації (у комутативному випадку) редукованих кілець є редукованими кільцями.

У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де ${\displaystyle r\in R,\;s\in S}$ буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle tr^{n}=0}$ для деяких ${\displaystyle t\in S,\;n\in \mathbb {N} .}$ Але тоді tr є нільпотентним елементом у R. До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації.

• Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими, то R теж є редукованим.

Припустимо x є ненульовим елементом в R і xⁿ=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ оскільки в іншому випадку ${\displaystyle xs=0}$ для деякого ${\displaystyle s\not \in {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle s}$ належить анігілятору x, всупереч означенню ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Тому локалізація R за ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ не є редукованим кільцем.

• Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ — множина (можливо порожня) мінімальних простих ідеалів.

${\displaystyle D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:}$ Нехай x є дільником нуля тобто xy = 0 для деякого ненульового y. Оскільки R є редукованим, то (0) є перетином усіх ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ і тому y не належить деякому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$. Оскільки натомість xy належить усім ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ то x є елементом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$.

${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:}$ Нехай ${\displaystyle S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}}$. S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію ${\displaystyle R\to R[S^{-1}]}$. Позначимо ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ прообраз максимального ідеалу. Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ є підмножиною D і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ і з мінімальності ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}_{i}}$.

• Для загального (не обов'язково комутативного) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим, тобто R/I є цілісним кільцем.
• Кільце R є редукованим, тоді і тільки тоді, коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності, тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець ${\displaystyle R_{\lambda },\;\lambda \in \Lambda }$ для якого усі проекції на ${\displaystyle R_{\lambda }}$ є сюр'єктивними.

Схема ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ називається редукованою, якщо для кожної відкритої множини ${\displaystyle U\subset X}$ кільце ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ є редукованим. Еквівалентно якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ локальне кільце

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\operatorname {lim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V)}$

є редукованим.

Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ виконується рівність ${\displaystyle f^{n}=0,}$ то образ ${\displaystyle f^{n}}$ у ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U,u}}$ є рівним нулю для всіх ${\displaystyle u\in U}$ і тому ${\displaystyle f}$ теж є рівним нулю у всіх цих кільцях. З означення схеми звідси випливає, що ${\displaystyle f=0.}$

Навпаки, якщо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ є редукованим для всіх відкритих підмножин ${\displaystyle U}$ і ненульового ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,x}}$ то для будь-якого представника ${\displaystyle (U,{\bar {f}}\in {\mathcal {O}}(U))}$ елемента ${\displaystyle f}$ з означення локального кільця, елемент ${\displaystyle {\bar {f}}}$ є ненульовим і тому не є нільпотентним. Звідси ${\displaystyle f}$ теж не є нільпотентним у ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}.}$ Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем.

Зокрема афінна схема ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим.

• Нільрадикал
• Нормальне кільце
• Область цілісності

• Kaplansky, Irving (1974). Commutative Rings. Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR1838439.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.