Кільце головних ідеалів
Кільце головних ідеалів — асоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де . Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.
Алгебричні структури |
---|
Групо-подібні
|
Кільце-подібні
|
Ґратко-подібні |
Алгебра-подібні
|
Приклади
- Кільце цілих чисел;
- Кільце многочленів F[х] над полем F;
- Довільне евклідове кільце є областю головних ідеалів. Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.
Властивості
- Комутативне кільце головних ідеалів є прямою сумою областей головних ідеалів і кілець головних ідеалів, що мають єдиний простий ідеал, що є нільпотентним.
- Якщо R — область головних ідеалів, то два ненульові елементи a, b кільця R мають найбільший спільний лівий дільник (a, b) і найменше спільне праве кратне [а, b], які визначаються як елементи, що задовольняють рівності:
- Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.
- Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники (факторіальним кільцем).
- Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
- Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.
Модулі над кільцем головних ідеалів
Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси і , що , де і — є повним (тобто ) дільником елементів при j < i.
Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів , де і — повний дільник при . Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи , з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.
Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів , де . Елементи , визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то або , де - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.
Див. також
Джерела
- Бондаренко Є.В. (2012). Теорiя кiлець: навчальний посiбник.. Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
- Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
- Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;