Абсолютне значення (алгебра)

• Якщо ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$  — поле дійсних чисел, то ${\displaystyle |x|=\max\{x,-x\}}$ є абсолютною величиною, або модулем, числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.
• Аналогічно, якщо K  — поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел або тіло ${\displaystyle \mathbb {H} }$ кватерніонів, то ${\displaystyle |x|={\sqrt {x{\bar {x}}}}}$
• Абсолютне значення підполя цих полів також забезпечуються індукованим абсолютним значенням.
• Будь-яке тіло має тривіальне абсолютне значення:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}1,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}$

Для скінченних полів і їх алгебраїчних розширень визначені тільки такі абсолютні значення.

• Приклади абсолютних значень іншого типу дають логарифмічні нормування тіла K: якщо v  — нормування K зі значеннями в групі ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і a — дійсне число, таке що ${\displaystyle 0<a<1}$, то ${\displaystyle |x|=a^{v(x)}}$ є абсолютним значенням. Наприклад, якщо ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, а і ${\displaystyle v_{p}}$ є р-адичним нормуванням поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то ${\displaystyle |x|_{p}=(1/p)^{v_{p}(x)}}$ називається р-адичним абсолютним значенням, або р-адичною нормою.

• Якщо 1  — одиничний елемент поля чи тіла, то ${\displaystyle |1|=|{-1}|=1}$ і також ${\displaystyle |{-x}|=|x|}$ для всіх елементів x.

${\displaystyle |1|=|1\cdot 1|=|1|\cdot |1|}$. Рівняння ${\displaystyle |1|=|1|\cdot |1|}$ щодо невідомої ${\displaystyle |1|}$ має два розв'язки в множині ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$. З визначення абсолютного значення випливає ${\displaystyle |1|\neq 0}$, тому ${\displaystyle |1|=1}$.

Також ${\displaystyle |1|=|{-1}\cdot -1|=|{-1}|\cdot |{-1}|}$, тому ${\displaystyle |{-1}|^{2}=1}$. Оскільки абсолютне значення не може бути від'ємним, то ${\displaystyle |{-1}|=1}$.

Нарешті ${\displaystyle |{-x}|=|{-1}\cdot x|=|{-1}|\cdot |x|=1\cdot |x|=|x|}$, відповідно ${\displaystyle |{-x}|=|x|}$

• Для ультраметричних абсолютних значень ${\displaystyle |n\cdot 1|\leqslant 1}$ для всіх цілих чисел n. Навпаки для будь-якого абсолютного значення ${\displaystyle |x|}$, якщо ${\displaystyle |n\cdot 1|\leqslant 1}$ хоча б для якогось натурального числа n > 0, то ${\displaystyle |x|}$ є ультраметричним абсолютним значенням. Еквівалентно, якщо ${\displaystyle |n\cdot 1|\leqslant M}$ для всіх цілих чисел n і довільного (спільного для всіх n) додатного дійсного числа M, то абсолютне значення є ультраметричним.
• Для ультраметричних абсолютних значень справедливе твердження:

${\displaystyle |x|\neq |y|\Rightarrow |x+y|=\max(|x|,|y|)}$

Припустимо, без втрати загальності, що ${\displaystyle |x|<|y|}$.

З визначення ультраметричного абсолютного значення ${\displaystyle |y|=|(y+x)+(-x)|\leqslant \max(|y+x|,|{-x}|)}$. Звідси ${\displaystyle |y|\leqslant \max(|y+x|,|x|)}$.

Оскільки ${\displaystyle |x|<|y|}$, також ${\displaystyle |y|\leqslant |y+x|}$.

Натомість, ${\displaystyle |y+x|\leqslant \max(|x|,|y|)=|y|}$.

З попередніх двох нерівностей випливає, що ${\displaystyle |y+x|=|y|=\max(|x|,|y|).}$

• Всі ультраметричні абсолютні значення отримуються з нормування зазначеним вище способом: ${\displaystyle |x|=a^{v(x)}}$ (і навпаки, за нормування завжди можна взяти ${\displaystyle \log |x|}$).
• Якщо характеристика поля не є рівною 0, то всі абсолютні значення, визначені на ньому є неархімедовими.
• Якщо абсолютне значення визначене для комутативного кільця R, що є областю цілісності то абсолютне значення можна однозначно продовжити на його поле часток прийнявши ${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

Абсолютне значення ${\displaystyle |x|}$ визначає метрику на K, якщо за відстань між x і y прийняти ${\displaystyle |x-y|}$, і тим самим визначає топологію на K. Так, топологія будь-якого локально компактного тіла визначається деяким абсолютним значенням.

Абсолютні значення ${\displaystyle |x|_{1}}$ і ${\displaystyle |x|_{2}}$ називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну топологію; в цьому випадку існує таке ${\displaystyle \lambda >0}$, що ${\displaystyle |x|_{1}=|x|_{2}^{\lambda }}$ для всіх ${\displaystyle x\in K}$.

Еквівалентні класи всіх архімедових абсолютних значень (визначених на тілі із значеннями в множині дійсних чисел) описує теорема Островського: якщо ${\displaystyle |x|}$  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує такий ізоморфізм K на деяке всюди щільне підтіло тіла ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ або ${\displaystyle \mathbb {H} }$, що ${\displaystyle |x|}$ є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ або ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Будь-яке нетривіальне абсолютне значення поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел є еквівалентним або р-адичному абсолютному значенню ${\displaystyle |x|_{p}}$ (де p  — просте число), або звичайному модулю числа. Ця теорема також називається теоремою Островського. При цьому для будь-якого раціонального числа ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$:

${\displaystyle |x|\prod _{p}|x|_{p}=1.}$

Аналогічна формула справедлива і для полів алгебраїчних чисел.

Якщо ${\displaystyle |x|}$  — деяке абсолютне значення тіла K, то K може бути вкладене, за допомогою класичного процесу поповнення, в тіло ${\displaystyle K_{|\cdot |}}$, що є повним щодо абсолютного значення, що продовжує ${\displaystyle |x|}$.

Одним з методів вивчення полів є вкладення поля K в прямим добуток ${\displaystyle \prod _{|\cdot |}K_{|\cdot |}}$ поповнень поля K за всіма абсолютними значеннями. Поле K є щільним в ${\displaystyle \prod _{|\cdot |}K_{|\cdot |}}$: якщо ${\displaystyle |\cdot |_{1},...,|\cdot |_{n}}$  — нетривіальні нееквівалентні абсолютні значення на полі K, ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in K}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то існує таке ${\displaystyle a\in K}$, що ${\displaystyle |a_{i}-a|<\varepsilon }$ для всіх i (теорема апроксимації для абсолютних значень).

Абсолютне значення поля K може бути продовженим (взагалі кажучи неоднозначно) на будь-яке алгебраїчне розширення поля K. Якщо K є повним щодо абсолютного значення ${\displaystyle |x|}$, a L є розширенням K степеня n, то продовження ${\displaystyle |x|}$ на L визначається однозначно і задається формулою:

${\displaystyle |x|_{1}={\sqrt {|N_{L/K}(x)|}},\;x\in L,}$

де ${\displaystyle N_{L/K}(x)}$  — норма елемента для відповідного скінченного розширення.

• Нормування (алгебра)

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Norm_on_a_field. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Cohn, P. M. (1991). Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4. CRC Press. ISBN 9780412361906.