Абсолютне значення (алгебра)

Абсолютним значенням на тілі або полі називається відображення тіла K в множину невід'ємних дійсних чисел, що задовольняє умовам:

  1. ;
  2. ;

Абсолютне значення часто також називають нормою, мультиплікативним нормуванням. Абсолютні значення можуть більш загально розглядатися на будь-якому кільці зі значеннями в лінійно впорядкованому кільці. Абсолютні значення, що задовольняють умові

називаються ультраметричними або неархімедовими. В іншому випадку вони називаються архімедовими.

Приклади

  • Якщо  — поле дійсних чисел, то є абсолютною величиною, або модулем, числа .
  • Аналогічно, якщо K  — поле комплексних чисел або тіло кватерніонів, то
  • Абсолютне значення підполя цих полів також забезпечуються індукованим абсолютним значенням.
  • Будь-яке тіло має тривіальне абсолютне значення:
Для скінченних полів і їх алгебраїчних розширень визначені тільки такі абсолютні значення.
  • Приклади абсолютних значень іншого типу дають логарифмічні нормування тіла K: якщо v  — нормування K зі значеннями в групі і a — дійсне число, таке що , то є абсолютним значенням. Наприклад, якщо , а і є р-адичним нормуванням поля , то називається р-адичним абсолютним значенням, або р-адичною нормою.

Властивості

  • Якщо 1  одиничний елемент поля чи тіла, то і також для всіх елементів x.
. Рівняння щодо невідомої має два розв'язки в множині , і . З визначення абсолютного значення випливає , тому .
Також , тому . Оскільки абсолютне значення не може бути від'ємним, то .
Нарешті , відповідно
  • Для ультраметричних абсолютних значень для всіх цілих чисел n. Навпаки для будь-якого абсолютного значення , якщо хоча б для якогось натурального числа n > 0, то є ультраметричним абсолютним значенням. Еквівалентно, якщо для всіх цілих чисел n і довільного (спільного для всіх n) додатного дійсного числа M, то абсолютне значення є ультраметричним.
  • Для ультраметричних абсолютних значень справедливе твердження:
Припустимо, без втрати загальності, що .
З визначення ультраметричного абсолютного значення . Звідси .
Оскільки , також .
Натомість, .
З попередніх двох нерівностей випливає, що
  • Всі ультраметричні абсолютні значення отримуються з нормування зазначеним вище способом: (і навпаки, за нормування завжди можна взяти ).
  • Якщо характеристика поля не є рівною 0, то всі абсолютні значення, визначені на ньому є неархімедовими.
  • Якщо абсолютне значення визначене для комутативного кільця R, що є областю цілісності то абсолютне значення можна однозначно продовжити на його поле часток прийнявши

Топологічні властивості і еквівалентність

Абсолютне значення визначає метрику на K, якщо за відстань між x і y прийняти , і тим самим визначає топологію на K. Так, топологія будь-якого локально компактного тіла визначається деяким абсолютним значенням.

Абсолютні значення і називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну топологію; в цьому випадку існує таке , що для всіх .

Еквівалентні класи всіх архімедових абсолютних значень (визначених на тілі із значеннями в множині дійсних чисел) описує теорема Островського: якщо  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує такий ізоморфізм K на деяке всюди щільне підтіло тіла або , що є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з або .

Будь-яке нетривіальне абсолютне значення поля раціональних чисел є еквівалентним або р-адичному абсолютному значенню (де p  просте число), або звичайному модулю числа. Ця теорема також називається теоремою Островського. При цьому для будь-якого раціонального числа :

Аналогічна формула справедлива і для полів алгебраїчних чисел.

Продовження абсолютних значень

Якщо  — деяке абсолютне значення тіла K, то K може бути вкладене, за допомогою класичного процесу поповнення, в тіло , що є повним щодо абсолютного значення, що продовжує .

Одним з методів вивчення полів є вкладення поля K в прямим добуток поповнень поля K за всіма абсолютними значеннями. Поле K є щільним в : якщо  — нетривіальні нееквівалентні абсолютні значення на полі K, і , то існує таке , що для всіх i (теорема апроксимації для абсолютних значень).

Абсолютне значення поля K може бути продовженим (взагалі кажучи неоднозначно) на будь-яке алгебраїчне розширення поля K. Якщо K є повним щодо абсолютного значення , a L є розширенням K степеня n, то продовження на L визначається однозначно і задається формулою:

де  норма елемента для відповідного скінченного розширення.

Див. також

Посилання

Джерела

  • Cohn, P. M. (1991). Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4. CRC Press. ISBN 9780412361906.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.