Нецентрований хі розподіл

Якщо ${\displaystyle X_{i}}$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми ${\displaystyle \mu _{i}}$ і дисперсіями ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, то статистика

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

має нецентрований розподіл хі. Нецентрований розподіл хі має два параметри: ${\displaystyle k}$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість ${\displaystyle X_{i}}$ ), і ${\displaystyle \lambda }$ що пов'язаний із середнім значенням випадкових величин ${\displaystyle X_{i}}$ рівнянням:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Нехай ${\displaystyle X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n}$, набір n незалежних і однаково розподілених двовимірних нормальних випадкових векторів з граничними розподілами ${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2}$, кореляцією ${\displaystyle \rho }$, і матрицею середнього вектора та коваріації

${\displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

з ${\displaystyle \Sigma }$ позитивно визначений . Позначимо

${\displaystyle U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.}$

Тоді спільний розподіл U, V є центрованим або нецентрованим двовимірним розподілом хі з n ступенями свободи[1][2]. Якщо один або обидва ${\displaystyle \mu _{1}\neq 0}$ або ${\displaystyle \mu _{2}\neq 0}$, то розподіл нецентрований двовимірний розподіл хі.

• Якщо ${\displaystyle X}$ є випадкова величина з нецентрованим розподілом хі, випадкова величина ${\displaystyle X^{2}}$ матиме нецентрований розподіл хі-квадрат .
• Якщо ${\displaystyle X}$ має розподіл хі: ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$, тоді ${\displaystyle X}$ також нецентрований хі розподіл: ${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$ . Іншими словами, розподіл хі є окремим випадком нецентрованого розподілу хі (тобто з нульовим параметром нецентрованості).
• Нецентрований розподіл хі з 2 ступенями свободи еквівалентний розподілу Райса, де ${\displaystyle \sigma =1}$ .
• Якщо X має нецентрований розподіл хі з 1 ступенем свободи та параметром нецентрованості λ, то σ X має згорнений нормальний розподіл, параметри якого дорівнюють σλ і σ ² для будь-якого значення σ.