Розподіл Хі

Функція густини ймовірності (pdf) хі-розподілу записується

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{інакше}}.\end{cases}}}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ є гамма-функція.

Функція розподілу задається:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

де ${\displaystyle P(k,x)}$ - регуляризована гамма-функція.

Твірна функція моментів задається:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

де ${\displaystyle M(a,b,z)}$ є зливною гіпергеометричною функцією Куммера. Характеристична функція задається:

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)}$.

Початкові моменти задаються:

${\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}dx=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ є гамма-функція. Одже, перші кілька моментів:

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\,}$

де найправіші вирази виводяться за допомогою рекуренткого відношення гамма-функції:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$

З цих виразів ми можна вивести наступні співвідношення:

Середнє: ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

Дисперсія: ${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\,}$

Асиметрія: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$

Компенсований ексцес: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$

Ентропія задається рівнянням:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

де ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$ - функція полігамми .

Виведемо формули наближень середнього та дисперсії розподілу хі для великих n = k + 1. Вони мають практичне застосування, наприклад, для пошуку розподілу середньоквадратичного відхилення вибірки нормально розподіленої сукупності, де n - обсяг вибірки.

Тоді середнє значення:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

Застосувавши формулу дублювання Лежандра можемо подати:

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$ ,

тож:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

Використовуючи наближення Стірлінга для гамма-функції, отримаємо наступний запис середнього:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

Отже, дисперсія задається:

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$