Нормальна система координат
Нормальна система координат — локальна система координат в околі точки ріманового многовиду (або, більш загально, многовиду з афінною зв'язністю), що одержується із координат на дотичному просторі в даній точці застосуванням експоненційного відображення.
Означення
Нехай є гладким многовидом із афінною зв'язністю . Для дотичного простору у точці для кожного існує однозначно визначена геодезична крива , задана на якомусь проміжку (-t,t), тобто на цьому проміжку і . Ці геодезичні лінії задають експоненційне відображення на відкритій підмножині :
- .
Для базиса дотичного простору існує лінійний ізоморфізм
заданий як . Нехай є нормальним околом точки , тобто околом для якого експоненційне відображення є дифеоморфізмом із околу у дотичному просторі на . Тоді відображення
є координатним відображенням, що задає локальну систему координат, які і називаються нормальними координатами.
Оскільки вибір координат на дотичному просторі є довільним, то і нормальні координати в околі точки не є однозначно визначеними. Для ріманових многовидів часто вимагається щоб базові вектори дотичного простору були ортонормальними. Тоді одержані координати також називаються рімановими нормальними координатами.
Властивості
Нехай є нормальними координатами в нормальному околі з центром у точці .
- Координатами точки є
- Нехай із компонентами у локальних координатах. Тоді геодезична крива із точки у напрямку у нормальних координатах на задається як .
- Якщо тензор кручення афінної зв'язності є нульовим то Символи Крістофеля у точці у координатному базисі є рівними нулю, тобто . Ця властивість, зокрема, завжди є справедливою для ріманових многовидів із зв'язністю Леві-Чивіти.
- За означенням афінної зв'язності і символів Крістофеля для координатного базиса За означенням тензора кручення і оскільки дужки Лі координатних векторних полів є нульовими і за умовою тензор кручення рівним нулю, то Із попередніх властивостей, крива задана у нормальних координатах як де t є на позиціях i і j а всі решта координати рівні 0, є геодезичною і тому Але усі нормальні координатні лінії, що виходять із є геодезичними, то ж а тому також Звідси і всі символи Крістофеля у точці є рівними нулю.
- Для ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти всі часткові похідні елементів метричного тензора у точці є рівними нулю, тобто . У випадку ріманових нормальних координат у точці елементи у є рівними .
Див. також
Література
- Busemann, Herbert (1955). On normal coordinates in Finsler spaces. Mathematische Annalen 129: 417–423. ISSN 0025-5831. MR 0071075. doi:10.1007/BF01362381..
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 (вид. New). Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3..
- Chern, S. S.; Chen, W. H.; Lam, K. S.; Lectures on Differential Geometry, World Scientific, 2000