Експоненційне відображення

Нехай ${\displaystyle M}$ — деякий гладкий многовид на якому задана афінна зв'язність ${\displaystyle \nabla _{Y}X}$ і ${\displaystyle p\in M}$. Для кожного вектора ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ існує єдина геодезична ${\displaystyle \gamma _{X}(t)}$, що виходить з точки ${\displaystyle p}$ (тобто ${\displaystyle \gamma _{X}(0)=p}$), така що ${\displaystyle \gamma _{X}'(0)=X}$. Дана геодезична лінія визначена в деякому околі нуля в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і також з властивостей геодезичних ліній ${\displaystyle \gamma _{sX}(t)=\gamma _{X}(st)}$ там де значення в правій частині є визначеним. Зокрема ${\displaystyle \gamma _{X}(1)}$ є визначеним в деякому околі нуля простору ${\displaystyle T_{p}M}$.

Експоненційне відображення вектора ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ визначається як ${\displaystyle \exp _{p}(X)=\gamma _{X}(1)}$. Воно є визначене загалом лише в деякому околі нуля дотичного простору.

Зокрема для ріманових многовидів існує канонічна афінна зв'язність (зв'язність Леві-Чивіти), що узгоджується з рімановою структурою многовида. Відображення визначене як вище для цієї конкретної зв'язності називається експоненційним відображенням для ріманових многовидів.

• ${\displaystyle \exp _{p}(0)=p}$.

Образ поверхні Землі при оберненому експоненційному відображенні до північного полюса.

• Для кожної точки ${\displaystyle p\in M}$ існує таке число ${\displaystyle \varepsilon >0}$, що експоненційне відображення ${\displaystyle \exp _{p}}$ визначене для всіх векторів ${\displaystyle X\in T_{p}M}$, які задовольняють умову ${\displaystyle |X|\leq \varepsilon }$
• Більш того, ${\displaystyle \exp _{p}}$ є дифеоморфізмом в деякому околі нуля в дотичному просторі ${\displaystyle T_{p}M}$ в деякий окіл точки ${\displaystyle p}$ многовида ${\displaystyle M}$. Таким чином, в деякому околі точки ${\displaystyle p}$ многовида ${\displaystyle M}$ визначене обернене експоненційне відображення (що також називається логарифмом і позначається ${\displaystyle \log _{p}}$ ), що набуває значень в деякому околі нуля дотичного простору ${\displaystyle T_{p}M}$.
• Нехай тепер ${\displaystyle N\subset TM}$ , така що для ${\displaystyle (p,X)\in N}$ (де ${\displaystyle p\in M,\;X\in T_{p}M}$) відображення ${\displaystyle \exp _{p}(X)}$ є визначене. Тоді множина ${\displaystyle N}$ є відкритою підмножиною в ${\displaystyle TM}$ і відображення ${\displaystyle \exp(p,X)=\exp _{p}(X)}$ визначене на ${\displaystyle N}$ буде теж диференційовним.

• У метрично повному рімановому многовиді експоненційне відображення визначено для будь-якого дотичного вектора (Теорема Хопфа — Рінова).

• Диференціал експоненціального відображення в будь-якій точці ${\displaystyle p}$ є тотожним лінійним оператором. Тобто

  ${\displaystyle (d_{p}\exp _{p})(X)=X}$

для будь-якого ${\displaystyle X\in T_{p}M}$. Тут ми ототожнюємо простір, дотичний до ${\displaystyle T_{p}M}$, з самим простором ${\displaystyle T_{p}M}$.

• Для груп Лі ${\displaystyle G}$ дотичний простір ${\displaystyle T_{e}G}$ у одиничному елементі ${\displaystyle e}$ можна ідентифікувати із простором лівоінваріантних векторних полів, тобто полів ${\displaystyle X}$ для яких ${\displaystyle X_{gh}=(\operatorname {d} \!L_{g})X_{h},\,\forall g,h\in G,}$ де ${\displaystyle L_{g}}$ позначає відображення множення зліва на елемент ${\displaystyle g,}$ тобто: ${\displaystyle L_{g}(h)=gh.}$ Для ненульового елемента ${\displaystyle T_{e}G}$ відновідне лівоінваріантне векторне поле є ненульовим у всіх точках і більш того для базису постору ${\displaystyle T_{e}G}$ відповідні лівоінваріантні векторні поля задають базис у кожній точці групи Лі. Потоки лівоінваріантних векторних полів із точки ${\displaystyle e}$ є гомоморфізмами із адитивної групи дійсних чисел у групу ${\displaystyle G}$ і є визначеними для всіх дійсних чисел. Якщо ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ є лівоінваріантними лінійно незалежними векторними полями, то на групі Лі ${\displaystyle G}$ можна задати афінну зв'язність як ${\displaystyle \nabla _{X}X_{i}=0}$ для всіх ${\displaystyle X_{i}}$ і всіх ${\displaystyle X\in TM}$ (тоді також ${\displaystyle \nabla _{X}Y=0}$ для всіх лівоінваріантних полів ${\displaystyle Y}$). Для цієї зв'язності геодезична лінія із точки ${\displaystyle e}$ у напрямку ${\displaystyle X_{e}}$ є рівною потоку лівоінваріантного векторного поля ${\displaystyle X}$ із точки ${\displaystyle e}$. Таким чином експоненційне відображення збігається із експонентою визначеною в теорії груп Лі.
• Важливим частковим випадком попереднього є група ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ невироджених квадратних матриць порядку ${\displaystyle n}$. Одиничним елементом цієї групи є одинична матриця і дотичний простір в цьому елементі є рівним ${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$ — простору усіх квадратних матриць порядку ${\displaystyle n}$. Для ${\displaystyle A\in M(n,\mathbb {R} )}$ відповідний потік для лівоінваріантного поля задається як ${\displaystyle \exp tA=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}A^{k}.}$ Зокрема у точці ${\displaystyle t=1}$ значення потоку є рівним класичній експоненті матриці, що пояснює викоричтання цієї назви для аналогічних відображень у ширших класах груп Лі і диференційовних многовидів.

• У випадку ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$експоненційне відображення є канонічною ідентифікацією дотичного простору ${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ із ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$при якій початок координат дотичного простору переходить у точку p. А саме ${\displaystyle \exp(V)=p+V.}$
• Для одиничної сфери ${\displaystyle S^{2}}$ із «південним полюсом» у точці ${\displaystyle p=(0,0,-1)}$якщо на ${\displaystyle T_{p}S^{2}}$ввести полярні координати то кожен дотичний вектор можна записати як ${\displaystyle V=r\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial x}}+r\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial y}}}$ і розглядати експоненту як функцію ${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle \varphi }$. Тоді можна записати у явному виді

${\displaystyle \exp _{p}(r,\varphi )=\left(\cos \varphi \cos(r-\pi /2),\sin \varphi \cos(r-\pi /2),\sin(r-\pi /2)\right).}$

Зокрема образами кіл із радіусами ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\;n\in \mathbb {Z} ^{+}}$є «екватор» кулі, образами кіл із радіусами ${\displaystyle \pi +2\pi n,\;n\in \mathbb {Z} ^{+}}$є «північний полюс», а образами кіл із радіусами ${\displaystyle 2\pi n,\;n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ є «південний полюс». У цьому випадку експоненційне відображення є визначеним для всієї дотичної площини.

• Натомість для ${\displaystyle S^{2}\setminus (0,0,1)}$, тобто одиничної кулі без «північного полюса», експоненційне відображення із дотичної площини у «південному полюсі» є визначеним лише у крузі ${\displaystyle r<\pi .}$

• Експонента матриці
• Експонента (теорія груп Лі)
• Нормальна система координат

• Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105. (англ.)