Осциляції Фріделя

Електрони, що рухаються в металі або напівпровіднику, подібні вільним електронам з хвильовою функцією у вигляді плоскої хвилі, тобто

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ .

Електрони в металі поводяться інакше, ніж частинки у звичайному газі, оскільки електрони є ферміонами, і вони підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Така поведінка означає, що кожен k - стан у газі може бути зайнятий лише двома електронами з протилежним спіном. Зайняті стани заповнюють сферу в зонній структурі k - простору до фіксованого енергетичного рівня — енергії Фермі ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$. Радіус кулі в k - просторі, ${\displaystyle k_{F}={\sqrt {2m^{*}\varepsilon _{F}}}/\hbar }$, називається хвильовим вектором Фермі, ${\displaystyle m^{*}}$ — ефективна маса.

Якщо в металі або напівпровіднику знаходиться чужорідний атом, так звана домішка, електрони, які вільно рухаються у провіднику, розсіюються потенціалом домішки. Оскільки електронний газ є фермі-газом, лише електрони з енергіями, близькими до рівня Фермі, можуть брати участь у процесі розсіювання, тому що повинні існувати порожні кінцеві стани з близькою енергією, в які могли б перейти розсіяні електрони. Стани навколо рівня Фермі, які можуть бути розсіяні, займають обмежений діапазон k — значень або довжин хвиль. Тому лише електрони в обмеженому діапазоні довжин хвиль поблизу енергії Фермі розсіюються, що призводить до модуляції густини заряду ${\displaystyle n\left(\mathbf {r} \right)}$ навколо домішки. Для сферично симетричного потенціалу домішки, що має позитивний заряд, у тривимірному металі густина заряду осцилює, як функція відстані від домішки ${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|}$:

${\displaystyle n\left(\mathbf {r} \right)={{n}_{0}}+{\frac {1}{4\pi {{r}^{3}}\epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}}\sum \limits _{l}{(-1)^{l}{Z}_{l}}\cos \left(2{{k}_{F}}r+{{\delta }_{l}}\right)}$ ,

де ${\displaystyle l}$ — орбітальне квантове число, ${\displaystyle \delta _{l}}$ — фаза розсіювання парціальної компоненти хвильової функції електрона, ${\displaystyle \epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}$ - діелектрична проникність металу з хвильовим вектором, що дорівнює подвоєний вектор Фермі. Надлишкова кількість електронів навколо домішкового йона визначається правилом сум Фріделя:

${\displaystyle \Delta N=\sum \limits _{l}{{Z}_{l}}={\frac {2}{\pi }}\sum \limits _{l}{\left(2l+1\right)}{{\delta }_{l}}\left({{k}_{F}}\right).}$

Для довільної розмірності електронної системи, ${\displaystyle d=1,2,3}$, доданок до густини заряду на великій відстані від дефекту має вигляд:[4]

${\displaystyle \delta n(\mathbf {r} )\sim {\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )}{|\mathbf {r} |^{d}}}.}$

У класичному сценарії екранування електричного заряду спостерігається загасання електричного поля в зарядженій рідині, при наявності зарядженого об'єкта. Оскільки екранування електричного заряду розглядає рухомі заряди в рідині як точкові об'єкти, концентрація цих зарядів відносно відстані від точки зменшується експоненціально. Це явище описується рівнянням Пуассона–Больцмана.[5]

Локалізований біля дефекту заряд створюється швидкими електронами фермі-газу, які притягуються до дефекту, дещо сповільнюють свій рух біля нього та скупчуються в цій області. Існування різкої границі довжин електронних хвиль призводить до виникнення ефектів квантової інтерференції, в наслідок чого навколо центу, що розсіює, виникає гало заряду.[6]

Примітка. Там, де класично поблизу зарядженого збурення можна спостерігати переважну кількість протилежно заряджених частинок, у квантовомеханічному сценарії осциляцій Фріделя — це періодичні розташування протилежно заряджених ферміонів, за якими слідують простори з такими ж зарядженими областями.[3]

Рис.2. Зображення сканувальної тунельної мікроскопії домішок Cr та сходинок на поверхні Fe (001).[7]

Сканувальна тунельна мікроскопія дозволяє з атомною роздільністю досліджувати локальну густину електронних станів ${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)}$ (ЛГС) поблизу поверхні провідника:

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)=\sum \limits _{\mathbf {k} }{\left|{{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)\right|}^{2}\delta \left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}\right),}$

де ${\displaystyle {{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)}$ — хвильова функція електрона з урахуванням розсіювання на дефекті, ${\displaystyle {{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}}$ — енергія електрона з двовимірним хвильовим вектором ${\displaystyle \mathbf {k} }$, ${\displaystyle \delta \left(x\right)}$ — дельта-функція Дірака. Розсіювання на дефекті призводить до інтерференції хвиль і зміни густини станів, що відображає розсіювальні властивості дефекту.[8] Типовими дефектами поверхні є адсорбовані чужорідні одиничні атоми (точкові дефекти) і атомарні сходинки (лінійні дефекти) (Рис.2). Одним зі способів розуміння якісних характеристик стоячих хвиль біля східчастого краю є наближення, в котрому плоский східчастий край моделюється непроникним бар'єром для електронів поверхневих станів. Східчастий край створює вузол ЛГС, ${\displaystyle \rho \left(0,{{\varepsilon }_{F}}\right)=0}$, на межі сходинки ${\displaystyle x=0}$, а ЛГС на відстані ${\displaystyle x}$ від сходинки описується рівнянням:[8]

${\displaystyle \rho \left(x,{{\varepsilon }_{F}}\right)={\frac {{m}^{*}}{\pi {{\hbar }^{2}}}}\left[1-{{J}_{0}}\left(2{{k}_{F}}x\right)\right]}$,

де ${\displaystyle {{J}_{0}}\left(x\right)}$ — функція Бесселя першого роду.

Рис.3. Зображення сканувальної тунельної мікроскопії наноостровків Co на поверхні Cu.[9]

На Рис. 3 — двовимірні осциляції Фріделя проілюстровано СТМ - зображенням чистої поверхні заліза на якій розміщені наноостровки кобальту. На зображенні добре видно двовимірні фріделівські осциляції густини електронних станів біля точкових дефектів та меж острівків.

• http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/02/friedel-oscillations-wherein-we-learn-that-the-electron-has-a-size/ - просте пояснення цього явища

1. W. A. Harrison (1979). Solid State Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63948-2.
2. Фриделя осцилляции. Энциклопедия физики и техники.
3. Friedel Oscillations: wherein we learn that the electron has a size. Gravity and Levity. 2 червня 2009. Процитовано 22 грудня 2009.
4. Kai Sotthewes, Michiel Nijmeijer, and Harold J. W. Zandvliet Confined Friedel oscillations on Au(111) terraces probed by thermovoltage scanning tunneling microscopy. PHYSICAL REVIEW B 103, 245311 (2021)
5. Hans-Jürgen Butt, Karlheinz Graf, and Michael Kappl, Physics and Chemistry of Interfaces, Wiley-VCH, Weinheim, 2003.
6. 'Принципы теории твердого тела'; Займан, Дж.; Изд-во: М.: Мир, 1966
7. «Atomic-scale Observations of Alloying at the Cr-Fe(001) Interface» by A. Davies, J.A. Stroscio, D.T. Pierce, and R.J. Celotta, Phys. Rev. Lett. 76, 4175 (1996).
8. M. F. Crommie, C. P. Lutz, and D. M. Eigler, Nature (London) 363, 524 (1993); Science 262, 218 (1993).
9. Spin mapping at the nanoscale and atomic scale. Roland Wiesendanger. Rev. Mod. Phys. 81, 1495 (2009)