Перехресна ентропія

У теорії інформації перехресна ентропія між двома розподілами ймовірності та над спільним простором подій вимірює середню кількість біт, необхідних для впізнання події з простору подій, якщо схема кодування, що використовується, базується на розподілі ймовірностей , замість «істинного» розподілу .

Визначення

Перехресна ентропія двох розподілів і на тому самому ймовірнісному просторі визначається наступним чином:

.

Вираз можна переформулювати за допомогою  дивергенції Кульбака — Лейблера від до (також відома як відносна ентропія відносно )

,

де  ентропія .

Для дискретного випадку і над одним і тим же носієм це значить, що

 

 

 

 

(Рів. 1)

Для неперервного розподілу аналогічна ситуація. Ми припускаємо, що та абсолютно неперервні відносно деякої міри (зазвичай є мірою Лебега на борелевій σ-алгебрі). Нехай та будуть функціями густини ймовірностей та відносно . Тоді

 

 

 

 

(Рів.2)

NB: Запис іноді використовується як для перехресної ентропії, так і для спільної ентропії і .

Мінімізація перехресної ентропії

Мінімізація перехресної ентропії часто використовується під час оптимізації та для оцінки імовірностей рідкісних випадків.

Застосування у машинному навчанні

У контексті машинного навчання перехресна ентропія є мірою помилки для задачі багатокласової класифікації. Зазвичай «істинний» розподіл (той, якому намагається відповідати алгоритм машинного навчання) виражається в термінах унітарного кодування (англ. one-hot).

Наприклад, припустимо, що для конкретного навчального екземпляра справжньою міткою є B з можливих міток A, B і C. Таким чином, унітарний розподіл для цього навчального екземпляра буде:

Pr(Class A)Pr(Class B)Pr(Class C)
0.01.00.0

Ми можемо інтерпретувати наведений вище істинний розподіл так, що навчальний екземпляр має 0% ймовірності бути класом A, 100% ймовірності бути класом B і 0% ймовірністю бути класом C.

Тепер припустимо, що алгоритм машинного навчання прогнозує такий розподіл ймовірностей:

Pr(Class A)Pr(Class B)Pr(Class C)
0.100.700.20

Наскільки близький прогнозований розподіл до справжнього? Саме це визначає перехресна ентропія, якщо її обрано як функцію втрати. Застосуємо формулу (Рів. 1):

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.