Поліноміальний розподіл

Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}$.

Інтуїтивно подія ${\displaystyle \{X_{i}=j\}}$ означає, що дослід з номером ${\displaystyle i}$ привів до ${\displaystyle j}$. Нехай випадкова величина ${\displaystyle Y_{j}}$ дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k}$.

Тоді розподіл вектора ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }}$ Має функцію імовірності

${\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$,

де

${\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}}$ —

мультиноміальний коефіцієнт.

Математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle Y_{j}}$ має вигляд: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}$. Діагональні елементи матриці коваріації ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

${\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}$.

Для інших елементів маємо

${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}$.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює ${\displaystyle k-1}$.

• Біноміальний розподіл
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Функція розподілу ймовірностей