Проєктивний об'єкт

У теорії категорій, поняття проєктивного об'єкта узагальнює проєктивні модулі. Проєктивні об'єкти у абелевих категоріях широко використовуються у гомологічній алгебрі. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.

Означення

Об'єкт у категорії називається проєктивним якщо для довільного епіморфізма і морфізма , існує морфізм для якого , тобто існує комутативна діаграма:

У локально малій категорії є проєктивним якщо і тільки якщо функтор Hom

зберігає епіморфізми.[1]

Абелеві категорії

Нехай  — локально мала абелева категорія. У цьому випадку об'єкт називається проєктивним об'єктом якщо

є точним функтором, де є категорією абелевих груп.

Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є

  • Функтор Hom переводить коядра об'єктів у коядра.
  • Функтор Hom переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
  • Функтор Hom переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
  • Кожна послідовність виду
є точною у тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто є ізоморфним прямій сумі .

Властивості

  • Кодобуток двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом.[2]
  • Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.[3]

Достатньо проєктивних об'єктів

Нехай  абелева категорія. Кажуть, що має достатньо проєктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта у існує проєктивний об'єкт у і точна послідовність

Іншими словами є епіморфізмом.

Приклади

  • Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є еквівалентним аксіомі вибору.
  • Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.
  • Нехай  кільце з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих -модулів . Проєктивними об'єктами у є проєктивні ліві R-модулі. Зокрема є проєктивним об'єктом у
  • Категорія лівих (правих) -модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого) -модуля , можна взяти вільний (а відтак проєктивний) -модуль породжений елементами і канонічна проєкція буде необхідним сюр'єктивним відображенням.

Примітки

  1. Mac Lane, Saunders (1978). Categories for Working Mathematician (вид. Second). New York, NY: Springer New York. с. 114. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
  2. Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 72. ISBN 9780199237180. OCLC 740446073.
  3. Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 33. ISBN 9780199237180. OCLC 740446073.

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.