Рівняння Ріккаті

Рівняння Ріккаті — звичайне диференціальне рівняння виду:

y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y+q_{2}(x)\,y^{2}.\quad (*)

де $q_{0}(x),q_{1}(x),q_{2}(x)$ — неперервні на деякому інтервалі I функції. Окремий випадок рівняння:

y'=ay^{2}+bx^{\alpha },\quad (**)

( $a,b,\alpha \,$ — сталі), досліджував Якопо Ріккаті (1723). У цьому разі рівняння називають спеціальним рівнянням Ріккаті. Воно цікаве насамперед з огляду на такий факт. Даніель Бернуллі близько 1725 року встановив, що спеціальне рівняння Ріккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо $\alpha =-2\,$ або $\alpha ={\frac {-4n}{(2n-1)}}$ , де n — ціле число. У 1841 році Жозеф Ліувілль з'ясував, що при всіх інших значеннях $\alpha$ це рівняння вже не можна зінтегрувати в квадратурах.

Рівняння та його узагальнення на випадок систем диференціальних рівнянь мають важливі застосування в багатьох математичних дисциплінах.

Властивості

Рівняння Ріккаті завжди можна зінтегрувати в квадратурах, якщо вдалося знайти хоча б один його частинний розв'язок.

Якщо y₁ — частинний розв'язок рівняння, то заміна змінних y = y₁ + u де u — нова невідома функція незалежної змінної x, зводить це рівняння до рівняння Бернуллі.

Підставивши в (*) y = y₁ + u, дістанемо

y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},

Але

y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}

. Тому рівняння для нової змінної у має вигляд:

u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2}.

Це — рівняння Бернуллі.

Зведення до лінійного рівняння другого порядку

Нелінійне рівняння Ріккаті завжди може бути зведене до лінійного диференціального рівняння другого порядку. Якщо

y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!

тоді коли $q_{2}\,$ є ненульовим, $v=yq_{2}\,$ задовольняє рівняння Ріккаті виду:

v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!

де $S=q_{2}q_{0}$ і $R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)$ , тому що

v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!

Підставляючи $v=-u'/u\,$ , одержуємо що $u$ задовольняє лінійне рівняння другого порядку

u''-R(x)u'+S(x)u=0\!

оскільки

v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!

тому

u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!

і остаточно

u''-Ru'+Su=0.\!

З розв'язку цього рівняння можна одержати розв'язок $y=-u'/(q_{2}u)\,$ вихідного рівняння Ріккаті.

Нехай $y_{1}(x),y_{2}(x)$ — часткові розв'язки рівняння Ріккаті. Тоді загальний розв'язок визначається з формули:

y={\frac {Cy_{1}+U(x)y_{2}}{C+U(x)}},

де

U(x)=\exp \left[-\int q_{2}(y_{1}-y_{2})dx\right]

Загальний розв'язок рівняння Ріккаті (*) є раціональною функцією від сталої інтегрування, і навпаки, будь-яке диференціальне рівняння першого порядку, що володіє цією властивістю, є рівнянням Ріккаті.
Якщо $y_{1}(x),\ldots ,y_{4}(x)$ — часткові розв'язки рівняння Ріккаті , що відповідають значенням $c_{1},\ldots ,c_{4}$ сталої інтегрування, то має місце тотожність:

${\frac {y_{3}(x)-y_{1}(x)}{y_{3}(x)-y_{2}(x)}}:{\frac {y_{4}(x)-y_{1}(x)}{y_{4}(x)-y_{2}(x)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.$

Загальний розв'язок рівняння Ріккаті визначається з трьох часткових за допомогою даної функції.

Матричне рівняння Ріккаті

Матричним рівнянням Ріккаті називається диференціальне рівняння:

{\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B(t)X+XC(t)+D(t).

де X — невідома матриця розмірів n×m, а розміри матриць A(t), B(t), С(t), D(t) відповідно m×n, n×n, m×m, n×m.

Матричне рівняння Ріккаті відіграє важливу роль в теорії лінійних гамільтонових систем, варіаційному численні, задачах оптимального управління, фільтрації, стабілізації керованих лінійних систем. Наприклад, оптимальне управління u₀ в задачі мінімізації функціонала:

x^{T}(t_{1})\Phi x(t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[x^{T}(t)M(t)x(t)+u^{T}(t)N(t)x(t)\right]dt

на розв'язках системи:

x'=A(t)x+B(t)u,\quad x(t_{0})=x_{0},

(n×n-матриці Φ, М(t) симетричні і невід'ємноозначені, а m×m -матриця N(t), додатноозначена при $t\in [t_{0},t_{1}]$ ), визначається формулою:

u_{0}(t)=-N^{-1}(t)B^{T}(t)Z(t)x\,

де Z(t) — розв'язок матричного рівняння Ріккаті:

Z'=-ZA(t)-A^{T}(t)Z+ZB(t)N^{-1}(t)B^{T}(t)Z-M(t)\,

з граничною умовою $Z(t_{1})=\Phi .\,$

У задачах управління на нескінченному інтервалі часу важливими є питання про існування у матричного рівняння Ріккаті невід'ємноозначеного обмеженого на $[t_{0},\infty ]$ розв'язку, про існування періодичного або майже періодичного розв'язку (у випадку періодичних або майже періодичних коефіцієнтів рівняння) і про способи наближеної побудови таких рішень.

Див. також

Література

В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
Лионс Ж.-Л., Оптимальное управление Системами, описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц., М., 1972;
Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. – К.: Либідь, 2003р. – 600 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.