Рівняння конвекції-дифузії

Рівняння конвекції–дифузії можна отримати з рівнянь неперервності, які стверджують, що швидкість зміни для скалярної величини в математичній моделі відбувається через локальні потік і дифузію разом з генерацією та розпадом:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=R,}$

де ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — сумарна густина потоку, а R — джерело для c. Густрина потоку складається зі внесків двох типів. Перший, дифузійний потік, виникає через дифузію. Її, зазвичай, апроксимують першим законом Фіка:

${\displaystyle {\vec {j}}_{\text{diffusion}}=-D\,\nabla c}$

тобто, потік дифузійної речовини у будь-якій частині системи пропорційний градієнту локальній концентрації. Другою складовою є адвективний потік, :

${\displaystyle {\vec {j}}_{\text{advective}}={\vec {v}}\,c}$

Сумарний потік (в нерухомій системі координат) визначається сумою цих двох складових:

${\displaystyle {\vec {j}}={\vec {j}}_{\text{diffusion}}+{\vec {j}}_{\text{advective}}=-D\,\nabla c+{\vec {v}}\,c.}$

Підстановка у рівняння неперервності дає:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\,\nabla c+{\vec {v}}\,c\right)=R.}$

Загалом, D, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ і R можуть змінюватися в просторі та часі. У таких випадках, коли вони залежать від концентрації і рівняння стає нелінійним, виникає таке явище як конвекція Релея-Бенарда, коли ${\displaystyle {\vec {v}}}$ визначається процесом теплообміну, а R — процесом масообміну через рівняння хімічної реакції.

У деяких випадках середнє поле швидкості ${\displaystyle {\vec {v}}}$ існує через дію різних сил; наприклад, рівняння може описувати потік іонів, розчинених в рідині, з використанням електричного поля, які рухаються в певному напрямку. В цьому випадку його зазвичай називають рівнянням Смолюховського, після того, як Маріан Смолюховський  описав його в 1915 році[7].

Зазвичай, середня швидкість прямо пропорційна прикладеній силі, що дає таке рівняння[8][9]:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot (\zeta ^{-1}{\vec {F}}c)+R}$,

де ${\displaystyle {\vec {F}}}$ — сила, а ${\displaystyle \zeta }$ характеризує тертя або в'язкий опір.

Якщо в рівнянні конвекції-дифузії відсутні джерела, тобто R=0, то дане рівняння можна розглядати як стохастичне диференціальне рівняння, яке описує випадковий рух з коефіцієнтом дифузії D в потоці ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Наприклад, рівняння може описувати броунівський рух однієї частинки, де змінна c відповідає ймовірності частинки мати задане положення в заданий момент часу.

Рівняння Ланжевена описує водночас адвекцію, дифузію та інші явища чисто стохастично. Одна з простих форм рівняння Ланжевена відповідає випадку, коли шум гаусів. Тоді рівняння Ланжевена повністю еквівалентне ковекційно-дифузійному[9]. Однак воно загальніше[9].

Для розв'язування рівняння конвекції-дифузії найчастіше використовують чисельні методи, наприклад метод скінченних елементів, які чисельно апроксимують розв'язок за допомогою комп'ютерів.

Рівняння конвекції–дифузії — відносно прості рівняння, що описують потоки або стохастично мінливу систему. Тому те саме або подібне рівняння виникає в багатьох контекстах, не пов'язаних з потоком через простір.

• Воно фактично ідентичне до рівняння Фокера-Планка для швидкості частинки.
• Тісно пов'язане з рівняння Блека–Шоулса та іншими рівняннями фінансової математики.
• Тісно пов'язане з рівняннями Нав'є–Стокса, оскільки потік імпульсу в рідині математично схожий на потік маси або енергії.

Генерування носіїв заряду (зеленим позначено електрони, фіолетовим —дірки) світлом у центрі напівпровідника і їхнє розбігання до обох кінців. Електрони мають більшу дифузійну проникність, ніж дірки, що веде до зменшення кількості надлишкових електронів у центрі в порівнянні з дірками.

У фізиці напівпровідників аналогічні рівняння називають дрейф–дифузійними, де слово "дрейф" відноситься до дрейфового струму та швидкості дрейфу. Ці рівняння мають вигляд:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf {E} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} }$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R}$

де

• n та p — концентрації електронів і дірок, відповідно,
• q — елементарний заряд (вважається додатним),
• J_n та J_p — електричні струми, що виникають за рахунок електронів та дірок, відповідно
• J_n/−q та J_p/q — «потоки частинок», електронів та дірок, відповідно
• R задає генерацію і рекомбінацію носіїв заряду (R > 0 для генерації електронно-діркових пар, R < 0 для рекомбінації).
• Е — вектор електричного поля
• ${\displaystyle \mu _{n}}$ та ${\displaystyle \mu _{p}}$ — електронна і діркова рухливість.

Коефіцієнти дифузії та рухливості пов'язані співвідношеннями Ейнштейна:

${\displaystyle D_{n}=\mu _{n}k_{B}T/q,\quad D_{p}=\mu _{p}k_{B}T/q,}$

де k_B — стала Больцмана, а Т — термодинамічна температура. дрейфовий та дифузійний струми задаються окремими доданками:

${\displaystyle \mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}/(-q)=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}/q=p\mu _{p}\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {J} _{n,{\text{diffusion}}}/(-q)=-D_{n}\nabla n,\qquad \mathbf {J} _{p,{\text{diffusion}}}/q=-D_{p}\nabla p.}$

Приклад розв'язку дрейфового рівняння дифузії проілюстровано праворуч. Вважається, що носії заряду генеруються в освітленому центрі напівпровідника і дифундують в обидва кінці. Можна побачити градієнти концентрацій носіїв від центру до кінців.

1. Кухарський, В. М. (2008). Комп’ютерне моделювання засобами FEMLAB. Навчальний посібник (Українська). Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. с. 144.