Слабка похідна

Нехай ${\displaystyle u}$ — функція з ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Функцію ${\displaystyle v(t)}$ з ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ називають «слабкою похідною» ${\displaystyle u}$, якщо

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt}$

для усіх неперервно диференційовних функцій ${\displaystyle \varphi }$ при ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$. Це визначення засновано на методі інтегрування частинами.

Узагальнюючи на ${\displaystyle n}$ вимірів, якщо ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ належать простору ${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$ локально інтегровних функцій для деякої області ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, і якщо ${\displaystyle \alpha }$ — це мультиіндекс, то ${\displaystyle v}$ називається слабкою похідною ${\displaystyle u}$ порядку ${\displaystyle \alpha }$, якщо

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }$

для усіх ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ — фінітних в ${\displaystyle U}$ нескінченно гладких функцій.

Якщо у функції ${\displaystyle u}$ є слабка похідна, то її часто позначають через ${\displaystyle D^{\alpha }u}$, тому що вона єдина з точністю до множини міри нуль.

• Функція u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, яка не має похідної в точці t = 0, проте має на проміжку [−1, 1] слабку похідну v, так звану «функцію знаку» (sgn), визначену таким співвідношенням:

${\displaystyle v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0;\\-1,&t<0.\end{cases}}}$

Це не єдина похідна u: усіляка функція w, що збігається з v, майже скрізь також буде слабкою похідною u. Як правило це не є проблемою, так як з точки зору просторів L^p та просторів Соболєва вони еквівалентні.

• Характеристична функція множини раціональних чисел D (Функція Діріхле) ніде не диференційована, але слабку похідну має усюди. Через те, що міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то

${\displaystyle \int D(t)\varphi (t)dt=0}$

Таким чином, ${\displaystyle v(t)\equiv 0}$ є слабка похідна функції D. Це має бути інтуїтивно зрозуміло, адже D в просторі L^p еквівалентна тотожному нулю.

• Якщо дві функції є слабкими похідними однієї і тієї ж функції, то вони збігаються на множині повної міри (майже скрізь). Якщо, як прийнято в просторах ${\displaystyle L_{p}}$, покладати майже скрізь рівні функції еквівалентними, то слабка похідна визначена єдиним чином.

• Якщо u має звичайну («сильну») похідну, тоді вона буде слабкою похідною. В цьому сенсі, слабка похідна є узагальненою сильною. Більш того, класичні правила для похідних від суми і від добутку функцій зберігаються для слабких похідних також.

Поняття слабкої похідної заклало основу для побудови т. з. слабких рішень в просторі Соболєва, які виявилися корисними в теорії диференціальних рівнянь і в функціональному аналізі.

• Михлин С. Г. Курс математической физики, Спб.: Лань, 2002
• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. , Уральцева Н .Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973